Эквивалентное сравнению утверждение в p-адических числах

[xmaister]

$\sum\limits_{k=0}^{p-1}k!\not\equiv 0\pmod{p}\Leftrightarrow \left|\sum\limits_{k=0}^{p-1}k!\right|_p=1$. Эта штука вроде очевидна, следует из $p\not |\sum\limits_{k=0}^{p-1}k!$. А как доказать, что последнее эквивалентно утверждению: $\left|\sum\limits_{k=0}^{\infty}k!\right|_p=1$? И ещё интересно было бы узнать, как найти равенство в $p$-адических числах, эквивалентное сравнению: $\left(\sum\limits_{k=0}^{p-1}k!\right)\left(\sum\limits_{k=0}^{p-2}(-1)^k\frac{B_k}{k!}\right)\equiv\sum\limits_{m=1}^{\frac{p-3}{2}}\frac{B_{2m}}{(2m)!}(!(2m)-1)\pmod{p}$.

[Sonic86]

xmaister в сообщении #555111 писал(а):

Эта штука вроде очевидна, следует из $p\not |\sum\limits_{k=0}^{p-1}k!$. А как доказать, что последнее эквивалентно утверждению: $\left|\sum\limits_{k=0}^{\infty}k!\right|_p=1$?

Так просто по определению $|\cdot|_p$. А, ну и еще надо заметить, что все прочие факториалы, которых нет в 1-й сумме, кратны $p$.