Замечательное тождество [Теория чисел]

[Whitaker]

Добрый вечер, уважаемые друзья!
Помогите пожалуйста с решением такой задачи:
Доказать, что $\Big[\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)}\Big]=n^2+3n$
Моя попытка решения: Я доказал, что $n(n+1)(n+2)(n+3)>n^2(n+3)^2$.
Отсюда следует, что: $\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)}>n(n+3)$
Но так как функция $[.]$ - неубывающая, то:
$\Big[\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)}\Big]\geq n^2+3n$
Пусть $\Big[\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)}\Big]> n^2+3n$
тогда существует $m\in \mathbb{Z}$ такое, что:
$n(n+3)< m \leq \sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)}$
И отсюда можно получить следующее:
$0<(m-n(n+3))(m+n(n+3))\leq 2n(n+3)$
Я хочу показать, что неравенство $\Big[\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)}\Big]> n^2+3n$ не будет выполняться, но ничего не получается.

С уважением, Whitaker.

[ИСН]

$$(n^2+3n+1)^2-n(n+1)(n+2)(n+3)=...$$

-- Сб, 2012-03-31, 21:20 --

ВНЕЗАПНО

[Whitaker]

Если я нигде не накосячил, то $(n^2+3n+1)^2-n(n+1)(n+2)(n+3)=1$

[ИСН]

О то ж!

[Whitaker]

ИСН
если я Вас правильно понял, то получается так:
$(n^2+3n+1)^2\leq m^2 \leq n(n+1)(n+2)(n+3)$
Вычитая $(n^2+3n+1)^2$ получим:
$0\geq (n^2+3n+1)^2-m^2\geq 1$
Противоречие.
Значит, $[\sqrt{n(n+1)(n+2)(n+3)}]=n(n+3)$
Верно?

[ИСН]

Как-то так, да.

[Whitaker]

ИСН большое Вам спасибо!