Предел обобщенной функции

[ezhik]

$\frac {\xi}{\pi(x^2+\xi^2)}$ нужно найти при $ \xi \to +0$
Вот здесь эта тема уже поднималась topic14007.html, но мне там не все понятно.

Подсажите как найти предел.
Я начинаю вот так:
$\int_{-\infty}^\infty\frac {\xi}{\pi(x^2+\xi^2)} \phi(x) dx$
А дальше не знаю как делать. Вопрос вот в чем. Какую функцию $\phi(x)$ брать? Или вдруг вообще по-другому делать?

[Nimza]

Предел нужно считать для произвольной функции $\varphi(x)$. Проще всего через Фурье:

$$ \langle f_{\xi}, \varphi \rangle = \langle \hat f_{\xi}, \hat \varphi \rangle \to \langle 1, \hat \varphi \rangle = \langle \delta, \varphi \rangle $$

Преобразование Фурье здесь легко считается по лемме Жордана.

Можно без него. Просто посчитайте по частям Ваш интеграл.

[ewert]

ezhik в сообщении #553369 писал(а):

Какую функцию $\phi(x)$ брать?

Гладкую или финитную, или класса Шварца. Неважно; достаточно просто её непрерывности и ограниченноти.

Достаточно доказать, что при $\varphi(0)=0$ интеграл будет стремиться к нулю (тогда в общем случае он будет стремиться к $\varphi(0)$). При любом фиксированном $\varepsilon$ очевидно стремится к нулю интеграл по внешности промежутка $[-\varepsilon;\varepsilon]$. А интеграл по этому промежутку меньше $\max\limits_{[-\varepsilon;\varepsilon]}|\varphi(x)|\to0$ при $\varepsilon\to0$, этого и достаточно.

[Oleg Zubelevich]

дасточно разложить пробную функцию на сумму четной и нечетной функций

[ezhik]

Нужно было просто замену сделать $y = x/ \xi$