Красивое тождество [Теория чисел]

[Whitaker]

Добрый день, дорогие друзья!
Помогите пожалуйста решить такую задачку.
Доказать, что $\sigma(1)+\cdots+\sigma(n)=\Big[\dfrac{n}{1}\Big]+2\Big[\dfrac{n}{2}\Big]+\cdots+n\Big[\dfrac{n}{n}\Big]$, где $\sigma(k)$-сумма всех натуральных делителей числа $k$.
Вот моя попытка решения: $\sum \limits_{k=1}^{n} \sigma(k)=\sum \limits_{k=1}^{n}\sum \limits_{d|k}d=\sum \limits_{d=1}^{n}d\sum \limits_{kd\leq n, k\in \mathbb{N}}1=\sum \limits_{d=1}^{n}d\Big[\dfrac{n}{d} \Big]. Вроде так.
Такой вопрос: Можно ли его доказать как-то еще по-другому?

С уважением, Whitaker.

[Хорхе]

Один из классических примеров суммирования двумя способами. По-другому можно, но никому не нужно.

[Whitaker]

Хорхе
а вот когда меняют порядок суммирования там меняются только индексы да? А вот сами функции меняются? Честно говоря, я некоторых тонкостей не понимаю. Например почему у нас $d$ как и было, так и осталась.

[Хорхе]

Там остаются и функции, и индексы, меняется только порядок, в котором мы суммируем:

$$ \aligned &1 &&&&&+\\ &1+{}&2{\hphantom{{}+{}}} &\hphantom{3}&\hphantom{3}&&+\\ &1+{}&&3 &&&+\\ &1+{}&2+{}&&4&&+\\ &1+{}&&&&5 &+\\ &1+{}&2+{}&3+{}&&&6=\\ \endaligned $$

$$ (1+1+1+1+1+1)+(2+2+2)+(3+3)+(4)+(5)+(6) $$

[Whitaker]

Хорхе
понятно большое Вам спасибо!

[PAV]

«Преобразование арифметической суммы»