Понимание стохастического интеграла

[Bridgeport]

Добрый день,

Меня интересует понимание стохастического интеграла в прикладном плане. Иногда читая прикладные труды можно заметить, что его все-таки понимают как потраекторный интеграл.

Мне кажется, что это в каком-то смысле разумно. Так как интеграл определен как предел в $L^2$ (грубо), то можно выбрать подпоследовальность сходящуюся почти наверное и она может быть использованна для потраекторной интерпретации.

Поделитесь своим (прикладный) пониманием стохастического интеграла.

Спасибо.

[_hum_]

Вы бы, может, поточнее сформулировали вопрос, а то не совсем непонятно, чем вас не устраивает понимание интеграла как предела в $L^2$ -смысле (ведь прикладное значение пределов последовательностей случайных величин в $L^2$ -смысле вы же осознаете?).

[Bridgeport]

_hum_ в сообщении #551359 писал(а):

(ведь прикладное значение пределов последовательностей случайных величин в $L^2$ -смысле вы же осознаете?).

Нет, я плохо понимаю прикладное значение предела в $L^2$. Предел $L^2$ это некое усреднение. При построении стохастического интеграла мы начинаем с приблежаюшей последовательности. Для каждого члена это последовательности стохастический интеграл вполне кокретная и понятная вешь (потраекторно), а затем мы усредняем по $\Omega$(-вероятностное пространство) и в результате получаем, то с чем первоначальные потраекторные преобразования связать сложно.

[_hum_]

Ну, тогда стоит сначала разобраться с содержательными интерпретациями разных типов пределов случайных величин, не привязываясь непосредственно к интегралу (возможно, стоило бы создать новую тему с соответсвующим вопросом).
Как по мне, так $L^2 $ - предел последовательности с.в. $(\xi_n)_n$ можно трактовать как с.в. $\xi$, аппроксимирующую случайные величины $\xi_n$ таким образом, что дисперсию ошибки аппроксимации можно сделать сколь угодно малой для достаточно больших индексов $n$. (А малость дисперсии, по неравенству Чебышева, ведет к малой вероятности отклонения).
Еще одна трактовка: если значения $\xi_n$ можно трактовать как амлитуду некоторой физической величины, то поскольку квадрат амплитуды пропорционален энергии, можно считать, что $||\cdot||_{L^2}$ дает среднюю энергию, связанную с этой величиной. А тогда предел в $L^2$-смысле можно опять-таки рассматривать как аппрокимацию одной с.в. других с.в. таким образом, что среднюю энергию ошибки аппроксимации можно сделать сколь угодно малой. То есть, с энергетической точки зрения они будут практически неразличимы.

[Bridgeport]

Интересное толкование, надо подумать!

Спасибо!

[Хорхе]

Нет никаких проблем и с потраекторным пониманием. Но тут возникает некоторый нетривиальный прикол.

Допустим сначала, что мы хотим проинтегрировать некую достаточно гладкую функцию $x(t)$ по чему-то тоже достаточно гладкому $y(t)$, то есть определить $\int x(t) dy(t)$. Если есть чуть больше гладкости, чем у винеровского процесса (строго: если есть гельдеровость с суммой показателей больше единицы), мы можем взять гладкие $y_n(t)\to y(t)$ и определить $\int x(t) dy(t)=\lim \int x(t) dy_n(t) = \lim \int x(t) y_n'(t)dt$. Такое определение будет корректно, если не только $y_n(t)\to y(t)$, но и если коэффициент гельдеровости для разницы сходится к нулю. Так получается интеграл Юнга.

Теперь обещанный нетривиальный прикол. Вот мы хотим, например, определить $\int W_t dW_t$, где $W$ - винеровский процесс. Хотя мы и не в ситуации предыдущего абзаца (винеровский процесс - гельдеровский с показателем вплоть до 1/2, так что сумма показателей гельдеровости меньше 1), но мы можем попробовать действовать точно так же. К сожалению, у нас ничего не получится, а если и получится, то ответ будет существенно зависеть от приближающей последовательности $y_n$.

Есть несколько путей, как эту проблему преодолеть, один из них описан у Фелльмера: H. Follmer "Ito integration without probability". Я не буду его тут переписывать, поля слишком узки.

Второй, более естественный, но более сложный для понимания, путь состоит в следующем. Раз мы не можем корректно посчитать $\int W_t dW_t$, то скажем по определению, что $\int_a^b (W_t-W_a) dW_t = G(a,b)$, где функция $G$ (так называемая "площадь Леви") удовлетворяет некоторым логичным условиям. Оказывается, что этого достаточно, чтобы интегрировать уже почти любые функционалы от винеровского процесса по нему же и решать стохастические дифференциальные уравнения. Например, если $G(a,b) = (W_b-W_a)^2/2$, то получаем интеграл Стратоновича, а если $G(a,b) = (W_b-W_a)^2/2 -(b-a)/2$ -- интеграл Ито.

Выворачивая эту идею наизнанку, можно сказать так. Если траектория процесса достаточно гладкая (показатель гельдеровости больше 1/2), то мы можем интегрировать по ней без значительных проблем. Если же она уже не такая гладкая, более шершавая, то для интегрирования недостаточно информации, содержащейся исключительно в траектории, и нам нужна дополнительная информация -- для винеровского процесса это площадь Леви $G(a,b)$. И чем шершавее траектория, тем больше информации о ней нужно знать. Шершавость выражается в показателе Гельдера $h$, а потребность в новой дополнительной информации возникает, когда $h<1/k$, $k$ -- натуральное.

На этом подходе основывается теория "шершавых траекторий" (rough path theory), придуманная замечательным во всех отношениях оксфордским математиком Терри Лайонсом. В русской литературе, к сожалению, не описана. В англоязычной см. книгу Fritz, Victoir "Multidimensional Stochastic Processes as Rough Paths: Theory and Applications".

[Bridgeport]

любоптно, но совсем непросто!

Спасибо!

[Bridgeport]

Мне наверное стоило бы прочитать следующую книгу

Хорхе в сообщении #551632 писал(а):

Fritz, Victoir "Multidimensional Stochastic Processes as Rough Paths: Theory and Applications".

но как-то найти её непросто, да и очень интереснот знать ответ на следующий вопрос: Как то понятие интегрирования всегда связывалось с понятием конечной вариации (Лебег-Стилтьес). А из выше сказанного, похоже, следует прямая связь между гёлдеровостью и конечной вариацией? Не подскажите какая именно существует связь?

[Хорхе]

Связи нет. По имеющему конечную вариацию можно интегрировать практически любую ограниченную функцию, по гельдеровскому с показателем $\alpha$ -- лишь гельдеровское с показателем ${}>1-\alpha$.

Пишите адрес в личку, вышлю Фрица и Виктуара.