Формулы для степеней основных симметрических полиномов

[ellipse]

Основными симметрическими называются полиномы вида
$\delta_1=x_1+x_2+\dots+x_n$ \\ $\delta_2=x_1x_2+x_1x_3+\dots+x_{n-1}x_n$ \\ ...\\ $\delta_k=\displaystyle\sum_{1\leq i_1<i_2<\dots<i_k \leq n} x_{i_1}\dots x_{i_k}$\\ ...\\ $\delta_n = x_1\dots x_n$


Надо выразить $\delta_k^m$.

Число мономов в $\delta_k$ равно $N=C_n^k$.

Дальше хочется воспользоваться формулой: $(a_1+a_2+\cdots +a_N)^m =\sum\limits_{k_j\geqslant 0, k_1+k_2+\cdots+k_N=m} {m \choose k_1, k_2, \ldots, k_N} a_1^{k_1}\ldots a_N^{k_N}$, где ${m \choose k_1, k_2, \ldots, k_N} = \frac{m!}{k_1! k_2! \cdots k_N!}$

Теперь вместо $a_j$ надо подставить $j$-ое слагаемое вида $x_{i_1}\dots x_{i_k}$ и как-то найти степени при всех $x_i$.

Затрудняюсь это сделать. Может данная формула где-то выведена?

[Sonic86]

ellipse в сообщении #549748 писал(а):

Надо выразить $\delta_k^m$.

Через что? Через $\delta _j$? Это же оно и есть.
(а в старой теме вроде алгоритм у нас был, он не удовлетворил...)

(Оффтоп)

тупо погуглил и нашел кучу всего:
http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_identities
http://lib.mexmat.ru/books/923

[ellipse]

Sonic86 в сообщении #549750 писал(а):

ellipse в сообщении #549748 писал(а):

Надо выразить $\delta_k^m$.

Через что? Через $\delta _j$? Это же оно и есть.
(а в старой теме вроде алгоритм у нас был, он не удовлетворил...)

Не, через иксы выразить

Хочу немного усовершенствовать алгоритм. Алгоритм использовал такой, как при док-ве существования представления симметрического через основные. Задается лексикографическое упорядочивание мономов. Можно заметить, что старшим мономом произведения полиномов является произведение старших мономов сомножителей.
Пусть страшим мономом $f$ является $Kx_1^{a_1}...x_n^{a_n}$. Произведение $K\delta _1^{a_2-a_1} \delta _2^{a_3-a_2}... \delta _{n-1}^{a_n-a_{n-1}}\delta _n^{a_n}$ имеет такой же старший моном. Вычитая из $f$ это произведение получим полином $f_1=f-K\delta _1^{a_2-a_1} \delta _2^{a_3-a_2}... \delta _{n-1}^{a_n-a_{n-1}}\delta _n^{a_n}$ со строго меньшим старшим мономом. Далее с ним поступим также. Рано или поздно процесс закончится.

Формула нужна, чтоб численно вычислять хотя бы сомножители $\delta_k^m$ в $K\delta _1^{a_2-a_1} \delta _2^{a_3-a_2}... \delta _{n-1}^{a_n-a_{n-1}}\delta _n^{a_n}$

[ellipse]

опечатка. вот так правильно $K\delta _1^{a_1-a_2} \delta _2^{a_2-a_3}... \delta _{n-1}^{a_{n-1}-a_{n}}\delta _n^{a_n}$