Найти решение след краевой задачи( УМФ)

[vanja]

Найти решение $u=u(x,y)$ след краевой задачи при условии $u(x,\frac{1}{x})=x$
ход решения:
$\frac{dx}{x}=\frac{dy}{2y}\\ \ln|x|=\frac{1}{2}\ln|y|+\ln|C| \\ C=\frac{2x}{y}\\ u(x,y)=F(\frac{2x}{y})\\ u(x,\frac{1}{x})=2x^2=x$
как записать в итоге $u(x,y)=?$

[svv]

1) А где в условии уравнение?

2) (для простоты не пишу модули и $C$)
У Вас есть уравнение $2\ln x = \ln y$, и Вы отсюда делаете вывод, что $2x=y$. Здесь ошибка, правильно $x^2=y$.
Множитель $2$, влезая под логарифм, становится показателем степени.

[vanja]

совсем замотался
условие:$xu_x+2yu_y=0$
svv, спасибо и правда ошибка, тогда получается так
$u(x,\frac{1}{x})=F(x^3)=x$

и все же как записать $u(x,y)$

[ИСН]

Ну если $F(x^3)=x$, то чему равно $F(a)$, например?

[vanja]

$F(a)=\sqrt[3]{a}$?

[ИСН]

Разумеется. Дальше ясно?

[vanja]

если честно, нет, не понимаю, мб на примерах покажете как записывать $u(x,y)$

[ИСН]

$u(x,y)=F(?)$

[vanja]

ну это да, проблема состоит в том, что мне теперь записывать в скобках, после использования условия, т.е. до этого было так
$u(x,y})=F(x^3)$
далее с условием
$u(x,\frac{1}{x})=F(x^3)=x$
если я сделаю замену $x^3=t, F(t)=\sqrt[3]{t}$ например, то как записать окончательно?

[ИСН]

$u(x,y)=F(x^3)$ при любом y? Совсем-совсем любом? Уверены?

[vanja]

не уверен))

-- Сб мар 17, 2012 12:20:48 --

$u(x,y)=F(\frac{x^2}{y})$

[ИСН]

Вот-вот. Эта вещь (которая нужна) у Вас уже где-то есть в решении. Как найдёте, обращайтесь.
Стоп, а куда пропала F?

[vanja]

изменил

[ИСН]

Ага, так. Ну вот и всё.

[vanja]

где всё то)