Уравнение четвёртой степени, как решить на бумаге без компа?

[Ktina]

Можно ли решить уравнение $x^4-14x^3+64x^2-114x+63$, не прибегая к помощи вычислительной техники?
Я попыталась, но нашла только три корня. Исходя из того, что все корни должны лежать в интервале (0, 14) (а это очевидно, так как слева от нуля эта штука убывает, а справа от 14 растёт), сделала тупой перебор (по целым числам) путём приближённых оценок, получила три корня: (1, 3, 7). Четвёртый где-то затерялся. В комп лезть не хочу, хочу сама решить, но наведите, пожалуйста, на мысль.

Заранее благодарна!

[ИСН]

Если уж искать среди целых чисел, то по уму надо перебирать делители этого самого.
А как найти оставшийся корень - да поделить на $(x-x_i)$.

[Ktina]

ИСН в сообщении #548550 писал(а):

Если уж искать среди целых чисел, то по уму надо перебирать делители этого самого.
А как найти оставшийся корень - да поделить на $(x-x_i)$.

Что-то не делится...

[Александрович]

Разделил сначала на $(x-7)$, остаток на $(x-3)$, остаток на $(x-1)$. Четвёртый корень - $x=3$.

Или ещё так $x_4\cdot 7 \cdot 3 \cdot 1 =63$. По теореме Виета.

[Ktina]

Александрович в сообщении #548553 писал(а):

Разделил сначала на $(x-7)$, остаток на $(x-3)$, остаток на $(x-1)$. Четвёртый корень - $x=3$.

Так он же уже был.

[gris]

А можно продифференцировать и посмотреть не кратные ли корни. Просто подставлять их в производную.
какой ещё остаток???

[Александрович]

Ktina в сообщении #548554 писал(а):

Так он же уже был.

Корни бывают кратными.

[Ktina]

gris в сообщении #548555 писал(а):

А можно продифференцировать и посмотреть не кратные ли корни. Просто подставлять их в производную.

Олимпиада школьная, так что должно существовать простое решение, без производной.
Может, просто разложить на что-нибудь? Эх, знать бы, на что именно...

[mihiv]

63 равно произведению 4-х корней уравнения.

[ИСН]

Если настаиваете на школьном решении, то всё-таки надо делить. Зачем производная? Весна Деление покажет, кто где сколько кратный.

[nnosipov]

Вообще, производная может быть полезна. Можно найти НОД многочлена и его производной, применяя алгоритм Евклида. И этот НОД будет содержать только кратные корни самого многочлена. В данном случае Вы совершенно бесплатно найдёте корень $x=3$, а заодно узнаете, что он кратный. А потом поделите на $(x-3)^2$, получите квадратное уравнение и найдёте остальные корни.

[gris]

Делить тоже нехорошо. Надо раскладывать. Ktina правильно намекнула. Она, конечно, кокетничает, так как прекрасно знает про эти кратные корни. Но вот к чему она клонит? Наверняка неспроста она это затеяла.
Я бы смекнул, что второй коэффициент раскладывается в сумму: $14=1+13$. Ну и

$x^4-14x^3+64x^2-114x+63=x^4-x^3-13x^3+13x^2+51x^2-51x-63x+63=$

$=x^3(x-1)-13x^2(x-1)+51x(x-1)-63(x-1)=$

$=(x-1)(x^3-13x^2+51x-63)=0$

Уравнение в скобках легко решается по формуле Кардано. И ничего ни подбирать, ни делить не надо.

[nnosipov]

gris в сообщении #548573 писал(а):

Уравнение в скобках легко решается по формуле Кардано.

Зачем такие страсти? Просто выделить кратные корни, и всё.

Хотя как выделить-то? Производная-то запрещена .

[gris]

Дифференцировать же нельзя
Впрочем, можно и кубический четырёхчлен (не в пост будет сказано) можно разложить тем же способом. Число 13 состоит из 1 и 3. 1 мы использовали, значит остаётся $13=3+10$. Получаем:

$x^3-13x^2+51x-63=x^3-3x^2-10x^2+30x+21x-63=x^2(x-3)-10x(x-3)+21(x-3)=$

$=(x-3)(x^2-10x+21)=0$

Ну уж квадратное уравнение все школьники умеют решать. По теореме Виета или через дискриминант.

Кстати, навело подобную задачу: $x^{2012}=0$. Один корень очевиден — это ноль.
Где остальные.

Всё это, конечно, шутки. Но что она имела в виду? Вот интрига.

[arqady]

Ktina в сообщении #548547 писал(а):

Можно ли решить уравнение $x^4-14x^3+64x^2-114x+63$, не прибегая к помощи вычислительной техники?

Я своих семикласников вот так учу:
Запишем $x^4-14x^3+64x^2-114x+63=$
$=(x^2-7x+k)^2-49x^2-k^2-2kx^2+14kx+64x^2-114x+63=$
$=(x^2-7x+k)^2-((2k-15)x^2-(14k-114)x+k^2-63)$.
Подберём теперь $k$ так, чтобы $(2k-15)x^2-(14k-114)x+k^2-63$ было бы полным квадратом.
Для этого можно, конечно, уравнение третьей степени решить, но в данном конкретном случае $k=8$ видно сразу даже мне. Ну и дальше - понятно...