Найти сумму с биномиальными коэффициентами

[confabulez]

Добрый день!

Подскажите, пожалуйста, идею нахождения такой суммы:
$S=\frac1{2^{2011}}\frac1{2^{2012}}\sum_{i=1}^{2012}C_{2012}^i\sum_{j=0}^{i-1}C_{2011}^j$.

[Sonic86]

Сумма по треугольной области, из 2-х треугольников можно составить прямоугольник, подсуммное выражение при замене переменных не меняется. Кажется получается выразить сумму через нее саму.

-- Вс мар 11, 2012 13:06:46 --

Угадать правильный ответ можно, явно вычислив $S_n$ для $n=1,2,3$.

[confabulez]

Правильно ли я понимаю, что ответом будет $S=\frac{2012}{2^{2011}}?

[Sonic86]

confabulez в сообщении #547333 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что ответом будет $S=\frac{2012}{2^{2011}}$?

Нет Я ж говорю:

Sonic86 в сообщении #547318 писал(а):

Угадать правильный ответ можно, явно вычислив $S_n$ для $n=1,2,3$.

Не торопитесь...

[confabulez]

У вас $n$ - это верхний индекс в первой сумме (то, что равно 2012)?

[Sonic86]

confabulez в сообщении #547339 писал(а):

У вас $n$ - это верхний индекс в первой сумме (то, что равно 2012)?

Да

[confabulez]

Еще одна попытка ($S_{1}, S_{2}, S_{3}$ посчитал):

$S=\frac{2^{2012}{2012}+1}{2^{2011}2^{2012}}= \frac{2012}{2^{2011}}+\frac{1}{2^{2011}2^{2012}}?

[Sonic86]

Выпишите $S_1,S_2,S_3$ здесь.
Правильны ли Ваши догадки, я сообщать не буду - мы же не в угадайку играем.
На всякий случай уточню:
$S_n=\frac{1}{2^{2n-1}}\sum\limits_{i=1}^nC^i_n \sum\limits_{j=0}^{i-1}C^j_{n-1}$

[confabulez]

Получилось, что $S_1=\frac12,S_2=\frac12,S_3=\frac12$. Т.е. $S_{2012}=\frac12$? Тогда меня немного удивляет такой ответ, изначально решал задачу: "Первый игрок бросил игральный кубик 2011 раз, а второй - 2012. Какова вероятность того, что нечётные числа у второго выпали больше раз, чем у первого?". Тут 2 независимые случайные величины, надо найти $P(\xi<\eta)$. Отсюда и пришел к сумме, которую надо найти. Если она равна $\frac12$, то, как Вы заметили, в силу симметрии, сумма по верхнему треугольнику тоже равна $\frac12$. Но ведь есть еще вероятность $P(\xi=\eta)$. Тогда получим общую сумму, которая больше 1, что нехорошо. Или я где-то ошибаюсь?

[Sonic86]

confabulez в сообщении #547592 писал(а):

Получилось, что $S_1=\frac12,S_2=\frac12,S_3=\frac12$. Т.е. $S_{2012}=\frac12$?

Конечно Верьте глазам своим!

Ага! Значит все-таки задача имеет смысл!
Так вот (это очень важно!): часто бывает так, что если ответ простой, значит существует и простое рассуждение, приводящее сразу к ответу. Ищите лучше это рассуждение, оно должно быть простым.

confabulez в сообщении #547592 писал(а):

Но ведь есть еще вероятность $P(\xi=\eta)$

Нет, там нет диагонали, у нас прямоугольник $n \times n-1$ - он складывается из 2-х прямоугольных треугольников с катетами $n-1$. (Либо Вы неверно выразили вероятность (я не проверял))

[confabulez]

Спасибо за помощь! Поищу простое решение.