Из существования частных производных не следует непрерывност

[Alex_Mi]

Пусть дано : $f(x)$ , $x \in R^n$

Если функция в некоторой точке имеет частные производные по всем переменным, то она непрерывна в $R^n$

Понятно, что для $n = 1$ верно , для остальных нет.

Но как доказывать?

[gris]

Привести контрпример.

[Alex_Mi]

gris в сообщении #547256 писал(а):

Привести контрпример.

Основываясь на чем?

[ewert]

Alex_Mi в сообщении #547257 писал(а):

Основываясь на чем?

Наличие частных производных, скажем, в нуле контролирует поведение функции только на осях. А во всех остальных точках, стягивающихся к нулю, её поведение может быть каким угодно.

[gris]

На том, что для существования частных производных важно лишь поведение функции на $n$ прямых, параллельных осям координат, проходящих через точку. А то, что творится в других местах даже и не рассматривается. Прямая исчерпывает $R^1$, но $n$ прямых не исчерпывают $R^n$.

[Alex_Mi]

Спасибо, понял.