вычисление собственных значений матрица.

[bdfn]

Есть эрмитова матрица А, нужно вычислить у нее собственные значения. Мысль была следующая: найти для этой матрицы такую матрицу T, что $A'=T^{-1} A T$ где $A'$ треугольная матрица а значит диагональные элементы и есть собственные значения. Вопрос заключается в следующем как искать матрицу $T$. И в итоге нужно написать программу для вычисления собственных значений.

[Pavia]

bdfn
Я это плохо знаю. Но могу посоветовать книги.

Р.Хорн, Ч.Джонсон Матричный анализ Мир
Numerical Recipes in C The Art of Scientific Computing 2nd Ed - William H. Press
http://open-edu.sfedu.ru/files/Sz_sv_final.pdf

[ewert]

bdfn в сообщении #545079 писал(а):

И в итоге нужно написать программу для вычисления собственных значений.

С какой целью нужно?...

Это -- нетривиальная задача, и конечных алгоритмов не существует. Даже в эрмитовом случае.

[bdfn]

На занятий была поставлена эта задача, и цель написать рабочую программу на $C++$. А существует алгоритм для матриц к примеру 3 на 3?

[ewert]

bdfn в сообщении #545110 писал(а):

А существует алгоритм для матриц к примеру 3 на 3?

Условно существует: тупо вычисляется характеристический многочлен, после чего решается кубическое уравнение.

[bdfn]

ewert в сообщении #545112 писал(а):

bdfn в сообщении #545110 писал(а):

А существует алгоритм для матриц к примеру 3 на 3?

Условно существует: тупо вычисляется характеристический многочлен, после чего решается кубическое уравнение.

Не хотелось бы идти этим путем. Была еще мысль методом гаусса http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0% ... 1%81%D0%B0 сделать исходную матрицу $A$ треугольной и элементы стоящие на диагонали будут собственными значениями, но вьет это не верно ?

[ewert]

bdfn в сообщении #545113 писал(а):

сделать исходную матрицу $A$ треугольной и элементы стоящие на диагонали будут собственными значениями, но вьет это не верно ?

Чудес не бывает. Если нельзя -- значит нельзя.

Для матрицы три на три проще всего считать именно в лоб. Кубическое уравнение достаточно просто решается по формуле Кардано или ещё проще и надёжнее (если матрица вещественна) приближёнными методами. Для четвёртого порядка уже возникают технические трудности. Начиная с пятого -- практически работают только прямые (т.е. без вычисления характеристического многочлена) итерационные методы общего назначения. И это -- задача отнюдь не учебная, в таком виде вам её ставить не могли.

[bdfn]

Спасибо ewert за полезные замечания. А можете немного поподробнее объяснить почему так делать нельзя ?

[ewert]

bdfn в сообщении #545215 писал(а):

почему так делать нельзя ?

Я не говорил, что нельзя. Можно. Только бессмысленно: всё равно ничего не выйдет.

Наиболее очевидная причина, почему не выйдет: потому, что поиск с.ч. в конце концов сводится (с формальной точки зрения) к поиску корней некоторого алгебраического уравнения, притом общего вида. А для решения этой задачи заведомо нет никаких общих формул, начиная с пятой степени.

[Pavia]

ewert
Это вас так интеграл расстроил? Вообще собственные числа ищут не через решение уравнения, а интерационно. А вот корни алгебраического уравнения как раз и ищут через поиск собственных векторов.

[ewert]

Pavia в сообщении #545261 писал(а):

Вообще собственные числа ищут не через решение уравнения, а интерационно.

ewert в сообщении #545118 писал(а):

Начиная с пятого -- практически работают только прямые (т.е. без вычисления характеристического многочлена) итерационные методы общего назначения.

[Евгений Машеров]

Эрмитова? В смысле комплексная? Тогда можно свести к действительной симметричной.
$C=A+iB=\left( \begin{array}{cc} A & B \\ -B & A \end{array} \right)$
где С эрмитова, действительная часть А симметрична, мнимая часть В антисимметрична.
А уж для симметричной матрицы вполне себе методом Якоби и т.а.

[ewert]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #545269 писал(а):

А уж для симметричной матрицы вполне себе методом Якоби

Кто такой Якоби -- в данном-то случае?...

[Евгений Машеров]

Ну, самый просто программируемый метод. Приведение к трёхдиагональной и QR программировать дольше.

[ewert]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #545289 писал(а):

Приведение к трёхдиагональной

это я в курсе, но фамилия Якоби у меня ассоциируется совсем не с этим, а с одним из итерационных методов решения просто систем