Существует ли аналог теоремы Лагранжа для кубов?

[Ktina]

Только что ознакомилась с доказательством теоремы Лагранжа о сумме четырёх квадратов.
Возник резонный вопрос: а что там с кубами и более высокими степенями? Существует ли натуральное $n$ такое, что любое натуральное число представимо в виде суммы $n$ кубов? А $n$ степеней с фиксированным показателем $m$?

Заранее благодарна!

[Nilenbert]

Да, это так называемая проблема Варинга. Известно, что каждое число натуральное число представимо в виде суммы кубов 9 целых чисел, 19 четвёртых степеней и т.д.
Вот цитата:

Цитата:

Любителям математики хорошо известна теорема теорема Лагранжа о том, что всякое натуральное число есть сумма четырёх квадратов неотрицательных целых чисел. В 1770 г. английский математик Эдвард Варинг высказал гипотезу, что всякое натуральное число есть сумма девяти кубов, девятнадцати четвёртых степеней и т.д. Иначе говоря, для любого $n > 2$ существует число $k$, зависящее только от $n$, такое, что всякое целое число $N > 1$ представимо в виде

$$ N = x_1^n + x_2^n + . . . + x_k^n $$

где $x_1, x_2, . . . , x_k > 0$. Эта задача, получившая название проблемы Варинга, в общем виде была решена в 1909 г. Д. Гильбертом.

Вот статья из английской википедии: http://en.wikipedia.org/wiki/Waring's_problem

[AVE]

Виноградов нашёл асимптотические формулы для числа $k$ в зависимости от $n$.

[Sonic86]

Простые факты о проблеме Варинга можно найти и в Бухштабе Теория чисел.
Есть более суровая книжка Вон Метод Харди-Литлвуда, требует знания как минимум ТФКП.
(а в русской Вики о Варинге ничего нет, безобразие)

[Ktina]

Sonic86 в сообщении #545072 писал(а):

(а в русской Вики о Варинге ничего нет, безобразие)

Это безобразие легкоустранимо в силу интерактивности Википедии.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #545172 писал(а):

Это безобразие легкоустранимо в силу интерактивности Википедии.

Да я знаю...