разрешимость линейного уравнения

[Oleg Zubelevich]

Классика какая-то . Пусть $X,Y$ -- банаховы пространства. Множество $D$ плотно в $X$; оператор $A:D\to Y$ замкнут. Известно, что $\ker A'=\{0\}$ и существует константа $c$ такая, что при любом $x\in D$ верно неравенство

$$\inf\{\|x-v\|_X\mid v\in\ker A\}\le c\|Ax\|_Y$$

Доказать, что уравнение $Ax=y$ разрешимо при любом $y\in Y$.

ps на пространства Фреше должно обобщаться

[Oleg Zubelevich]

Пусть $X,Y$ -- банаховы пространства. Множество $D$ плотно в $X$; оператор $A:D\to Y$ замкнут. Известно, что $\ker A'=\{0\}$ и существует константа $c$ такая, что при любом $x\in D$ верно неравенство

$$\inf\{\|x-v\|_X\mid v\in\ker A\}\le c\|Ax\|_Y. \qquad (*)$$

Теорема. Уравнение $Ax=y$ разрешимо при любом $y\in Y$.


Доказательство.
1. Множество $A(D)$ замкнуто. Проверим это. В силу замкнутости оператора $A$, пространство $\ker A$ замкнуто. Следовательно, пространство $X/\ker A$ -- банахово с нормой $\|\xi\|=\inf\{\|x\|_X\mid x\in\xi\}.$
Рассмотрим отображения $\pi :X\to X/\ker A,\quad \tilde A:X/\ker A\to Y$. Здесь $\pi$ -- проекция (ограниченное отображение "на"), $\ker\tilde A=\{0\}$ и $A=\tilde A\circ\pi$. Легко проверить, что оператор $\tilde A$ замкнут.
Формула (*) приобретает вид $c^{-1}\|\xi\|\le \|\tilde A\xi\|_Y$.
Пусть $Ax_n\to y$. Обозначим $\xi_n=\pi x_n$. Тогда $c^{-1}\|\xi_i-\xi_j\|\le \|\tilde A(\xi_i-\xi_j)\|_Y\to 0.$ Следовательно, $\xi_n\to \xi.$ И тогда возьмем $x\in\xi$, получим $Ax_n\to y=Ax$. Следовательно $y\in A(D)$.

2. Проверим, что $(\ker A')^{\bot}=A(D)$. Здесь $(\ker A')^{\bot}=\{y\in Y\mid (f,y)=0,\quad f\in\ker A'\}.$
Включение $(\ker A')^{\bot}\supseteq A(D)$ -- очевидно. Проверим $\subseteq$.
Предположим противное: найдется элемент $v\in(\ker A')^{\bot}$ и $v\notin A(D)$.
В силу замкнутости $A(D)$, по теореме Хана-Банаха [Эдвардс Функциональный Анализ] существует функционал $g\in Y'$ такой, что $g(v)=1$ и $g\mid_{A(D)}=0$. Из последнего равенства следует, что $g\in\ker A'$. Но тогда должно быть $g(v)=0$ -- противоречие.

3. Из условия теоремы следует, что $$(\ker A')^{\bot}=Y$. В силу пункта 2. теорема доказана.