N-свойство Лузина

[rauan]

Уважаемый пользователь AD 28.02.2010, 12:49 в теме Список форумов » Математика » Помогите решить / разобраться (М) » Анализ-II/Re: Неизмеримые функции
писал следующее
"Собственно, вот до чего я дошел пока что.

Пусть у нас быстро возрастающая функция. Скажем, . Тогда берём у неё обратную, и замечаем примерно то, что хотел сказать Padawan: если непрерывная функция обладает -свойством Лузина (а она им обладает, ибо , ибо заведомо ), то она отображает измеримые множества в измеримые, и наоборот. Это просто и общеизвестно, и для таких функций задача решена. Это будем называть "первый случай".

Далее, понятно, что можно ограничиться только доказательством для класса . Почему? Ну пусть функция всюду дифференцируема. Тогда можно представить объединением счетного числа замкнутых множеств , на каждом из которых есть . Достаточно доказать, что прообраз любого множества в пересечении с любым измерим. Возьмем нашу функцию , и продолжим её до функции , совпадающей с на (ну нужно просто аккуратно дорисовать ее на смежных интервалах замкнутого множества ; вроде бы это просто, хотя я не думал особо, так что будьте осторожны!). Ну и раз так, то всё решено.

Теперь возьмем произвольную функцию класса . Её можно представить в виде разности двух функций, которые подпадают под первый случай. Так что если нам разрешают брать разности, то всё доказано."
Но если функция обладающая N-свойством Лузина представлена в виде разности двух монотоннных функций $f$ и $g$, то из этого вовсе не следует, что функции $f$ и $g$ тоже обладают свойством Лузина.

-- 24.02.2012, 12:47 --

Да, это был не вопрос. Просто заметил неточность. Теперь по поводу сообщений в теме topic30761-15.html. Насколько я понял замкнутое канторово совершенное нигде не плотное множество положительной меры $K_x$ функцией $g$ должно отобразиться на $g(K_x)$ множество нулевой меры. Но это не очевидно? Автор модератор $AD$ объясните пожалуйста!!!