Неизмеримые функции

[Padawan]

Суть построения состоит в том, чтобы найти бесконечно дифференцируемую строго монотонную функцию, которая устанавливает биекцию $[0,1]\to [0,1]$, причем канторово множество на оси иксов $K_x$ с $\mu K_x>0$ переходит в канторово множество на оси игреков $K_y$ с $\mu K_y=0$. Измеримое множество положительной меры всегда содержит неизмеримое подмножество. Поэтому выбирая такое подмножество в $E\subset K_x$ получим, что $\mu f(E)=0$, но $f^{-1}(f(E))=E$ неизмеримо.

А сама функция строится так: на дополнительных интервалах $K_x$ строятся шапочки, которые быстро убываю при приближении к концу интервала, но всегда >0. Берется сумма этих шапочек. За счет быстрого убывания сумма будет класса $C^\infty$, а размер шапочек выбирается так, чтобы интеграл по $i$-ому смежному интервалу множества $K_x$ совпал с длиной $i$-ого смежного интервала множества $K_y$. Тогда интеграл (с переменным пределом) от суммы шапочек будет искомой функций $f$.

[ShMaxG]

Таким образом мы показали, что измеримое множество $\[f\left( E \right)\]$ под действием измеримой функции $f^{-1}$ перевели в неизмеримое $E$. Наша суперпозиция $\[h\left( x \right) = g\left( {f\left( x \right)} \right)\] $, где $g=f^{-1}$ - измерима, $f$ - дифференцируема. (А почему функция обладает этими свойствами - понял).

(Очень интересно, кстати, брать функцию и обратную к ней в таком примере).

Так?

[Padawan]

Нет, $f^{-1}(f(x))=x$ -- измерима.

Надо так: $g=\chi_{f(E)}$ -- характеристическая функция множества нулевой меры--> измерима. А функция $g\circ f$ неизмерима, так как прообраз точки $1$ $(g\circ f)^{-1}(\{1\})=f^{-1}(g^{-1}(\{1\}))=f^{-1}(f(E))=E$ неизмерим.

[ShMaxG]

А, ну да. Ясно. Спасибо!

[AD]

Padawan в сообщении #293380 писал(а):

За счет быстрого убывания сумма будет класса $C^\infty$, а размер шапочек выбирается так, чтобы интеграл по $i$-ому смежному интервалу множества $K_x$ совпал с длиной $i$-ого смежного интервала множества $K_y$.

Здесь нужна некоторая аккуратность. Если мы зафиксировали интеграл по отрезку, то сразу получаем оценку снизу на размер шапочки. То есть требования, вообще говоря, противоречивы. Думаю, правильнее говорить так: Мы рисуем шапочки так, чтобы получилось $C^\infty$, и только потом соображаем, каким у нас получилось $K_y$. А оно заведомо получится меры нуль, потому что формула Ньютона--Лейбница.

[Профессор Снэйп]

Если функция $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ такова, что $f(x+y) = f(x) + f(y)$, то $f$ измерима тогда и только тогда, когда она непрерывна.

[dudkaman]

Добрый день, друзья.

Есть такой вопрос.

Является ли прообраз измеримого множества измеримым при непрерывном отображении.
Если более конкретно: есть непрерывная функция, действующая из отрезка [0,1] в отрезок [0,1]. При этом результатом действия является отрезок. Что можно сказать про измеримость прообраза.

Если непрерывности отображения не хватает для измеримости прообраза, то хватит ли монотонности? Или возможно существуют утверждения, которые накладывают другие условия на функцию.

(Везде выше рассматривается измеримость по Лебегу).

Спасибо.

от модератора AD:

Темы таки соединены.

[gris]

В том виде, в котором вопрос поставлен у Вас не совсем понятно, что за отображение. Рассмотрим отрезок и справа от него некоторое неизмеримое множество. Отрезок отобразим в себя, а неизмеримое множество в правый конец отрезка. По-моему, отображение будет и непрерывным и монотонным. Или же подразумеваются взаимно-однозначные отображения? Но тогда непрерывное отображение всегда монотонно?

[Padawan]

dudkaman
Нет, не является, существуют бесконечно-дифференцируемая строго возрастающая функция $f\colon [0,1]\to [0,1]$ и множество меры нуль $N\subset [0,1]$, такое, что множество $f^{-1}(N)$ неизмеримо.

См. сообщение #293380, и на три поста ниже - пост AD (у меня в построении неточность).

[Профессор Снэйп]

1) Функция называется измеримой, если прообраз любого измеримого множества измерим.
2) Непрерывные функции измеримы.

Где я ошибаюсь?

[id]

1) Измеримое множество-образ измеримо лишь относительно борелевской сигма-алгебры.

[Профессор Снэйп]

То есть функция называется измеримой, если прообраз борелевского множества является лебеговским?

[id]

По-моему, именно так: если прообраз измеримого по Борелю мн-ва есть измеримое по Лебегу множество.

Вики согласна.

[dudkaman]

Padawan в сообщении #302845 писал(а):

dudkaman
Нет, не является, существуют бесконечно-дифференцируемая строго возрастающая функция $f\colon [0,1]\to [0,1]$ и множество меры нуль $N\subset [0,1]$, такое, что множество $f^{-1}(N)$ неизмеримо.

Так, погодите, а у меня образ - не множество меры нуль. У меня отрезок.

[Профессор Снэйп]

А верно ли, что в любом измеримом по Лебегу множестве положительной меры можно выбрать неизмеримое по Лебегу подмножество?