Пусть, например,

, тогда кривая будет

.
Возьмём на ней две точки:

и

. Ясно, что они получаются при значениях

соответственно

и

.
По моим представлениям,

-- это правильный вариант. Проверим его так. Найдём изменение

от точки

до точки

. Так как изменение

равно

, то и изменение

равно

. Всё правильно.
Теперь посчитаем по Вашей формуле

, получаем, естественно,

. Приходится формулу забраковать как ошибочную.
bayak писал(а):
Ошибка в том, что

параметрическая координата, а нам (мне) надо её превратить в функцию, градиент которой в точках координатной линии равен касательным векторам.
Так... Я так понял, что Вы все координаты

рассматриваете сначала только на поверхности, правильно? Потом Вы хотите, если я правильно понял, распространить их на всё пространство -- с соблюдением указанного условия (на градиент). Ну, а почему нельзя сразу считать их заданными в

? Ведь Ваши уравнения очень располагают к этому.
Боюсь сразу задавать все вопросы. Хочу добиться консенсуса в простом вопросе: как мы оба понимаем градиент. Если я вычисляю градиент

как функций, заданных во всем пространстве (а не только на поверхности), то, по моим представлениям, я не имею права пользоваться такими уравнениями, в которые входит

, так как это привязывает изменение координат

к поверхности и тем самым искажает (а лучше сказать: калечит) градиент.
Поэтому уравнением

я пользоваться могу -- оно выполняется во всем пространстве, а уравнением

нет, оно выполняется только на поверхности (если считать

константой, а можно и не считать), и вычисленный с её помощью градиент

-- это будет непонятно что.