Упрощенный вариант третьей степени ВТФ.Решение.

[barsukov]

Любое целое положительное число в кубе при делении на 9 дает в остатке плюс или минус единицу..
Следовательно один из членов ВТФ для третьей степени делится на 3.
Из формулы

$$ (k+1)^3=k^3+y^3 \eqno (1) $$

$$ 3k^2+3k+1=y^3 \eqno (2) $$

Видно что $ y \equiv 1 mod {3} $
Рассмотрим случай $ k=3s_0t \quad k+1=wz $
Из формулы (1)

$$ k+1-y=3^2s_0^3 \eqno (3) $$

$$ (k+1)^2+(k+1)y+y^2=3t^3 \eqno (4) $$

$$ k+y=z^3 \eqno (5) $$

$$ k^2+ky+y^2=w^3 \eqno (6) $$

Из формулы (5) $ z \equiv 1 mod {3} \quad z^3 \equiv 1 mod {3^2} $
И следовательно из формул (3)(5)

$$ k+1-y \equiv 0 mod {3^2} $$

$$ k+y \equiv 1 mod {3^2} $$

И следовательно $ k \equiv 0 mod {3^2} \quad s_0=3s \quad y \equiv 1 mod {3^2} $

$$ k+1-y=3^5s^3 \eqno (7) $$

Из формул (2)(5)(7)

$$ 3z^6-6z^3y-3y^2+3z^3-3y+1=y^3 $$

$$ 3z^3(z^3-2y+1)=(y-1)^3 $$

$$ y-1=3^2sz \eqno (8) $$

Из формул (5)(8)

$$ z^3-k-1=3^2sz $$

$$ w=z^2-3^2s \eqno (9) $$

Из формулы (7)

$$ 3^2st-3^2z=3^5s^3 $$

$$ t=3^3s^2+z \eqno (10) $$

$$ wz-3^2st=1 $$

Из формул (9)(10)

$$ z^3-3^2sz-3^2st=1 $$

$$ z^3-1=3^2(z+t) \eqno (11) $$

$$ (z-1)(z^2+z+1)=3^2(2z+3^3s^2) $$

$$ z-1=3s_1m \eqno (12) $$

$$ z^2+z+1=3s_2n \eqno (13) $$

$$ 2z+3^3s_1^2s_2^2=mn \eqno (14) $$

$ s=s_1s_2 \quad m, \,\, n ,\,\, s_1, \,\, s_2 $ общие делители
Из формул (12)(13)

$$ 3s_1^2m^2+z=s_2n \eqno (15) $$

Из формул (14)(15)

$$ 3s_1^2(3^2s_2^2-2m^2)=n(m-2s_2) $$

$$ 3^2s_2^2-2m^2=nq $$

$$ m-2s_2=3s_1^2q $$

Тогда $ m^2 \equiv 4s_2^2 mod {q} \quad s_2^2 \equiv 0 mod {q} \quad m \equiv 0 mod {q} $
И из формулы (14) $ z \equiv 0 mod {q} $
Следовательно $ q=1 $ иначе члены формулы ВТФ имеют общий делитель.
При $ 2s_2>m $ $ k $ отрицательно

$$ 3^2s_2^2-2m^2=n \eqno (16) $$

$$ m-2s_2=3s_1^2 \eqno (17) $$

Из формул (15)(17)

$$ m^3-2s_2m^2+z=s_2n $$

$$ m^3+z= s_2(n+2m^2) $$

И из формулы (16)

$$ m^3+z=3^2s_2^3 \eqno (18) $$

$ m^3 \equiv -1 mod {3^2} \quad z \equiv 1 mod {3^2} $
Из формулы (12) $ s_1=3s_3 $ Из формул (16)(17) $ s_2 \equiv n mod {3^3} $
Из формулы (15) $ s_2n \equiv 1 mod {3^2} \quad s_2 \equiv 1 mod {3^2} $
И из формулы (17) $ m \equiv 2 mod {3^2} $
И из формулы (18) $ z \equiv 1 mod {3^3} $
И вновь из формулы (12) $ s_1=3^2s_4 $ Это ведет в бесконечность.
Действия для случая $ k+1 \equiv 0 mod {3} $ проводятся подобным образом.
Результат аналогичен. Уравнение (1) не имеет решения в целых числах.

[AKM]

barsukov в сообщении #540338 писал(а):

Любое целое положительное число в кубе при делении на 9 дает в остатке плюс или минус единицу.

Насколько я понял, вынужденно прочитав тему до конца, не это утверждение заявлено как предмет дискуссии. Извольте сей предмет явно сформулировать в начале, дабы читатель сразу понял --- хочет он это читать, или нет. Я также заметил, что операция сравнения по модулю слишком часто используется в теме, и закрыть глаза на её корявую запись нельзя. Наизусть не помню, но подсказку пришлю.

Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из ветки "ВТФ" в карантин. Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

-- 19 фев 2012, 01:01 --

$a \mod b$ (наведите мышку)
$a \pmod b$ (отсюда)