Множества. Доказательства.

[lampard]

1) Доказать, что $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)$

Есть только предположение нарисовать круги Эйлера - помахать руками и сказать - очевидно. Также есть идея задать множества в стиле $A=\{a_1,a_2,a_3\}$, $B=\{b_1,b_2,b_3\}$, $C=\{c_1,c_2,c_3\}$

Но мне кажется, что есть более адекватные доказательства. Подскажите, пожалуйста, их...

2) Доказать, что $A\setminus(A\setminus B)=A\cap B$

Аналогично первому

3) $A=\{\{1,2\},3\}$

Сколько элементов в множестве $A$? Думаю, что три, но эти дополнительные внутренние фигурные скобочки настораживают.

[lampard]

1) $B \cup C = \{ x \mid x\in B \vee x\in C\}$

$A\setminus (B \cup C)=\{x\in A\mid x\not\in B\vee x\not\in C\}$ (такое чувство, что здесь все-таки $\wedge$, но почему?)

А почему из этого следует, что

$\{x\in A\mid x\not\in B\vee x\not\in C\}=\{x\in A\mid x\not\in B\}\cap\{x\in A\mid x\not\in C\}$

Почему так?

2) $A\setminus B=\{x\in A\mid x\not\in B\}$

$A\setminus (A\setminus B)=\{x\in A\mid x\not\in A\wedge x\in B\}$

Чего-то я запутался. В чем ошибка?

[svv]

1) Это надо сделать в таком духе: http://dxdy.ru/post513680.html#p513680. Там знак $-$ соответствует Вашему $\setminus$.

3) Правильно настораживают. Элементы $1$ и $2$ -- это элементы не множества $A$, а того безымянного множества, которое обозначено внутренними скобками. А множество $A$ содержит ...

lampard писал(а):

$A\setminus (B \cup C)=\{x\in A\mid x\not\in B\vee x\not\in C\}$ (такое чувство, что здесь все-таки $\wedge$, но почему?)

Да, чувство Вас не подводит: НЕ ($B$ ИЛИ $C$)=(НЕ $B$) И (НЕ $C$)
См. http://ru.wikipedia.org/wiki/Законы_де_Моргана
Не быть немцем или французом = не быть немцем и не быть французом.

[lampard]

svv в сообщении #539615 писал(а):

1) Это надо сделать в таком духе: http://dxdy.ru/post513680.html#p513680. Там знак $-$ соответствует Вашему $\setminus$.

3) Правильно настораживают. Элементы $1$ и $2$ -- это элементы не множества $A$, а того безымянного множества, которое обозначено внутренними скобками. А множество $A$ содержит ...

lampard писал(а):

$A\setminus (B \cup C)=\{x\in A\mid x\not\in B\vee x\not\in C\}$ (такое чувство, что здесь все-таки $\wedge$, но почему?)

Да, чувство Вас не подводит: НЕ ($B$ ИЛИ $C$)=(НЕ $B$) И (НЕ $C$)
См. http://ru.wikipedia.org/wiki/Законы_де_Моргана
Не быть немцем или французом = не быть немцем и не быть французом.

Спасибо, понятно. Интересные законы, не знал их (точнее не чувство, а скорее графическое изображение множеств подкинуло эту идею).

-- 17.02.2012, 02:28 --

По той ссылке, однако, доказательство только в эту сторону $<=$ в обратном направлении на первом же шаге застрял

[xmaister]

Можно сразу в обе стороны, если делать эквивалентные преобразования.

(Совет)

Посмотрите Куратовский-Мостовский- теория множеств. Первой главы будет достаточно, чтобы такие штуки уметь доказывать.

[PAV]

lampard в сообщении #539578 писал(а):

3) $A=\{\{1,2\},3\}$

Сколько элементов в множестве $A$? Думаю, что три, но эти дополнительные внутренние фигурные скобочки настораживают.

По дороге едет велосипедист и автомобиль, в автомобиле водитель и один пассажир. Сколько транспортных средств движется по дороге?

[lampard]

xmaister в сообщении #539645 писал(а):

Можно сразу в обе стороны, если делать эквивалентные преобразования.

(Совет)

Посмотрите Куратовский-Мостовский- теория множеств. Первой главы будет достаточно, чтобы такие штуки уметь доказывать.

Спасибо

-- 17.02.2012, 17:30 --

PAV в сообщении #539662 писал(а):

По дороге едет велосипедист и автомобиль, в автомобиле водитель и один пассажир. Сколько транспортных средств движется по дороге?

Ну это да. Просто я не знал, что можно подмножество назвать элементом некого множества

[Someone]

lampard в сообщении #539875 писал(а):

я не знал, что можно подмножество назвать элементом некого множества

Элемент нельзя назвать подмножеством, а подмножество нельзя назвать элементом. Это разные понятия.
В Вашем $A=\{\{1,2\},3\}$ два элемента ($\{1,2\}$ и $3$), но четыре подмножества ($\varnothing$, $\{\{1,2\}\}$, $\{3\}$ и $A$). Хотя вполне возможны ситуации, когда какой-нибудь элемент одновременно является и подмножеством: в множестве $\{\varnothing\}$ элемент $\varnothing$ одновременно является и подмножеством. Вообще, если взять любое множество $A$ и любое его подмножество $B\subseteq A$, то в множестве $C=A\cup\{B\}$ множество $B$ будет одновременно элементом и подмножеством.

[Профессор Снэйп]

На самом деле надо доказать, что любой $x$ из левой части равенства лежит в правой части равенства и наоборот.

А круги Эйлера - это как чертёж в геометрии. Он может помочь найти рассуждение-доказательство, но сам по себе доказательством не является. Здесь же требуется именно рассуждение.

Например, такое (начну, а топикстартер пусть продолжает сам):

Пусть $x \in A \setminus (B \cup C)$. Тогда $x \in A$ и $x \not\in B \cup C$. Из $x \not\in B \cup C$ следует, что $x \not\in B$ и $x \not\in C$. Так как $x \in A$ и $x \not\in B$, то $x \in A \setminus B$. Так как $x \in A$ и $x \not\in C$, то $x \in A \setminus C$. Получаем $x \in A \setminus B$ и $x \in A \setminus C$, откуда следует $x \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$.

Обратно, пусть $x \in (A \setminus B) \cap (A \setminus C)$. Значит, $x \in A \setminus B$ и $x \in A \setminus C$. Значит, ...

-- Сб фев 18, 2012 15:14:03 --

lampard в сообщении #539578 писал(а):

$A=\{\{1,2\},3\}$

Сколько элементов в множестве $A$? Думаю, что три, но эти дополнительные внутренние фигурные скобочки настораживают.

И правильно делают, что настораживают

Правильный ответ - 2