угловые ускорения

[Oleg Zubelevich]

Очень простая задача из кинематики. Есть формула сложения угловых скоростей. Гораздо реже встречается формула сложения угловых ускорений. Написать эту формулу.

[obar]

Может и правильно делают, что не пишет про сложение угловых ускорений.

Пусть точка вращается относительно оси $\vec{n}_1$ с угловой скоростью $\omega_1(t)$. Пусть теперь сама эта ось вращается с угловой скоростью $\omega_2(t)$ относительно фиксированной оси $\vec{n}_2$. Тогда результирующая скорость и ускорение точки будут

$$ \vec{v}(t)=[\vec{\Omega}\times \vec{r}]\,,\quad \vec{\Omega}=\vec{\omega}_1+\vec{\omega}_2,\eqno(1) $$

$$ \vec{a}=[(\vec{\beta}_1+\vec{\beta}_2+[\vec{\omega}_2\times\vec{\omega}_1])\times \vec{r}]+[\vec{\Omega}\times[\vec{\Omega}\times \vec{r}]].\eqno(2) $$

Отсюда видно, что мгновенную скорость можно представить как результат одного вращения с угловой скоростью $\vec{\Omega}$. Тогда множитель в первом слагаемом (2) будет угловым ускорением

$$ \vec{B}=\vec{\beta}_1+\vec{\beta}_2+[\vec{\omega}_2\times\vec{\omega}_1]\,,\quad \vec{\beta}=\vec{n}\,\dot{\omega}. $$

В отличие от сложения угловых скоростей, сложение угловых ускорений не коммутативно и зависит от конкретики задачи.

[Oleg Zubelevich]

я не знаю, что такое угловая скорость точки, язнаю что такое угловая скорость твердого тела или репера. Во всяком случае предположений о фиксированности каких-то осей быть не должно

[anik]

Я думаю, что имелась в виду точка, принадлежащая телу, которое вращается с данной угловой скоростью вокруг данной оси. Так сказано, по-видимому, для краткости. Потом ведь говорится о линейной скорости и ускорении этой точки.
Наверное (2) получилось путем дифференцирования (1)?
Я попытался это сделать, но у меня не получилось. Непонятно, куда делось $\dot{\vec r}$

-- Вт фев 28, 2012 14:08:58 --

obar в сообщении #538622 писал(а):

Тогда множитель в первом слагаемом (2) будет угловым ускорением

Непонятно, что за множитель в первом слагаемом (2).

[anik]

Я продифференцировал, у меня получилось так:

$$ \vec{v}(t)=(\vec{\omega}_1+\vec{\omega}_2)\times \vec{r}$$

$$\vec{a}(t)=(\dot{\vec\omega}_1+\dot{\vec\omega}_2)\times \vec{r}+(\vec{\omega}_1+\vec{\omega}_2)\times \dot{\vec{r}}$$

$$\vec{a}(t)=(\dot{\vec\omega}_1+\dot{\vec\omega}_2)\times \vec{r}+\vec{\Omega}\times \dot{\vec{r}}$$

Откуда взялись двойные векторные произведения и куда делось $\dot\vec{r}$ я не пойму. Объясните, пожалуйста.

[Ilia_]

anik в сообщении #543476 писал(а):

Откуда взялись двойные векторные произведения и куда делось $\dot\vec{r}$ я не пойму. Объясните, пожалуйста.

Распишите явно $\dot{\vec\omega}_i$ и $\dot{\vec r}$ через заданные $\vec\omega_i$ и $\vec r$

[anik]

Ilia_ в сообщении #543650 писал(а):

Распишите явно $\dot{\vec\omega}_i$ и $\dot{\vec r}$ через заданные $\vec\omega_i$ и $\vec r$

Если бы ось $\vec{n}_1$ была неподвижна, то скорость точки можно было бы выразить так: $\dot{\vec r}=\vec{\omega}_1\times\vec r.$ Но, ось $\vec{n}_1$ сама вращается вокруг фиксированной оси $\vec{n}_2.$ Как тут быть?

-- Ср фев 29, 2012 13:07:23 --

Oleg Zubelevich в сообщении #538552 писал(а):

Очень простая задача из кинематики. Есть формула сложения угловых скоростей. Гораздо реже встречается формула сложения угловых ускорений. Написать эту формулу.

Если это очень просто, Вас не затруднит привести вывод этой формулы?

-- Ср фев 29, 2012 13:16:09 --

obar в сообщении #538622 писал(а):

Тогда результирующая скорость и ускорение точки будут

$$ \vec{v}(t)=[\vec{\Omega}\times \vec{r}]\,,\quad \vec{\Omega}=\vec{\omega}_1+\vec{\omega}_2,\eqno(1) $$

$$ \vec{a}=[(\vec{\beta}_1+\vec{\beta}_2+[\vec{\omega}_2\times\vec{\omega}_1])\times \vec{r}]+[\vec{\Omega}\times[\vec{\Omega}\times \vec{r}]].\eqno(2) $$

Отсюда видно, что мгновенную скорость можно представить как результат одного вращения с угловой скоростью $\vec{\Omega}$.

Откуда же это видно? Вы что, это доказали? Вы навешали на невиновного, без всяких на то оснований, шильдик "преступник", а потом говорите: отсюда видно, что он преступник.

[obar]

Во-первых, $\dot{\vec{r}}=\vec{v}=[\vec{\Omega}\times\vec{r}]$. Во-вторых, $\dot{\vec{\omega}}_1=\omega_1\dot{\vec{n}}_1+ \dot{\omega}_1\vec{n}_1=[\vec{\omega}_2\times\vec{\omega}_1]+\vec{\beta}_1$, $\dot{\vec{\omega}}_2=\vec{\beta}_2$.

[anik]

obar в сообщении #544544 писал(а):

Во-первых, $\dot{\vec{r}}=\vec{v}=[\vec{\Omega}\times\vec{r}]$. Во-вторых, $\dot{\vec{\omega}}_1=\omega_1\dot{\vec{n}}_1+ \dot{\omega}_1\vec{n}_1=[\vec{\omega}_2\times\vec{\omega}_1]+\vec{\beta}_1$, $\dot{\vec{\omega}}_2=\vec{\beta}_2$.

Каким образом вектор $\omega_1\dot{\vec{n}}_1$ обратился в векторное произведение $[\vec{\omega}_2\times\vec{\omega}_1]$?

[obar]

Рассмотрите бесконечно малый поворот вектора $\vec{n}_1$ вокруг вектора $\vec{n}_2$ с угловой скоростью $\omega_2$.

[anik]

obar в сообщении #544575 писал(а):

Рассмотрите бесконечно малый поворот вектора $\vec n_1$ вокруг вектора $\vec n_2$ с угловой скоростью $\omega_2$.

Вас не затруднит привести вывод формулы:

$$\omega_1\dot{\vec{n}}_1=[\vec{\omega}_2\times\vec{\omega}_1]$$

или дать ссылку на источник, где было бы можно посмотреть на этот вывод?

[Oleg Zubelevich]

Пусть $\omega_e$ угловая скорость первого репера относительно абсолютного пространства; $\omega_r$ -- скорость второго репера относительно первого. Тогда $ \omega=\omega_e+\omega_r$ -- скорость второго репера относительно абсолютного пространства.
Дифференцируем последнюю формулу: $\varepsilon=\varepsilon_e+\dot\omega_r$
по стандартной формуле $\dot\omega_r=\frac{d'}{d't}\omega_r+[\omega_e,\omega_r]=\varepsilon_r+[\omega_e,\omega_r],$ где штрихами обозначена производная вектора относительно первого репера

[anik]

Oleg Zubelevich в сообщении #544777 писал(а):

по стандартной формуле $\dot\omega_r=\frac{d'}{d't}\omega_r+[\omega_e,\omega_r]=\varepsilon_r+[\omega_e,\omega_r],$ где штрихами обозначена производная вектора относительно первого репера

Спасибо!
Вот этой стандартной формулы я не знал. В каком учебнике можно посмотреть её вывод?

[anik]

Oleg Zubelevich. Я продолжаю сомневаться в приведённой Вами формуле: $\dot\omega_r=\frac{d'}{d't}\omega_r+[\omega_e,\omega_r],$ где штрихами обозначена производная вектора относительно первого репера. (Это относительная производная вектора).
В векторной алгебре выводится такая формула: $\dot R=\frac{d'}{d't}R+[\omega_e,R],$
Вы, наверное, вместо вектора $R$, чисто формально вставили вектор $\omega_r$, а можно ли так делать?

[Батороев]

Oleg Zubelevich в сообщении #538804 писал(а):

я не знаю, что такое угловая скорость точки, язнаю что такое угловая скорость твердого тела или репера. Во всяком случае предположений о фиксированности каких-то осей быть не должно

В данном вопросе фиксация осей обязательна.
Для примера можно рассмотреть, будут ли отличаться угловые скорости (далее можно заменить на ускорения) одинаковых точек поверхности двух планет относительно звезды, если собственные угловые скорости (вращение вокруг своей оси) планет и их угловые скорости относительно звезды одинаковы, 1) радиусы планет одинаковы, а радиусы круговых орбит их вращения относительно звезды различаются; 2) радиусы орбит полета одинаковы, а радиусы планет различаются?