Расстановка в случайном порядке [Теория вероятностей]

[Whitaker]

Здравствуйте уважаемые друзья!
Попалась мне такая задачка по терверу, но полностью решить ее я что-то не могу. Прошу Вашей помощи!
$n$ лиц рассаживаются в ряд или за круглый стол в случайном порядке. Найти в том и другом случае вероятность того, что между двумя определенными лицами окажется ровно $k$ человек.
Рассмотрим для начала случай когда лица расположены в ряд. Пусть $\{P_1, P_2, \dots, P_n\}$-лица. Пусть $P_1$ и $P_2$ зафиксированы изначально.
Пусть $A$-событие состоящее в том, что между $P_1$ и $P_2$ окажется ровно $k$ людей. Найдем $|A|$.
Так как кроме $P_1$ и $P_2$ осталось еще $(n-2)$ лиц, то их можно переставить $(n-2)!$ способами. Сами лица $P_1$ и $P_2$ можно переставить $2!$ способами. Кроме того их еще можно сдвинуть на $(n-k-1)$ позиций. Используя классическое определение вероятности получим:
$P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}=\dfrac{2(n-k-1)(n-2)!}{n!}=\dfrac{2(n-k-1)}{n(n-1)}=\dfrac{2}{n}\Big(1-\dfrac{k}{n-1}\Big)$;
У меня получился такой ответ для случая когда $n$ лиц сидят в ряд.
Теперь рассмотрим случай, когда $n$ лиц сидят за круглым столом. Здесь считают, что расстановки, получающиеся друг из друга поворотом эквивалентны.
Пусть здесь $B$ - событие, состоящее в том, что между $P_1$ и $P_2$ ровно $k$ человек.
Так что общее число всех различных расстановок есть $\dfrac{n!}{n}=(n-1)!$. Но к сожалению вычислить $|B|$ я что-то не могу. Помогите пожалуйста разобраться.

С уважением, Whitaker!

[мат-ламер]

Что-то у меня слишком примитивно получается. Один стул назовём главным и посадим на него первое лицо (из двух определённых). Тогда второе лицо может сесть всего на два стула из $n-1$. Итого, ответ $2/(n-1)$.

[Whitaker]

мат-ламер
а ведь вероятность наверное должна зависить от параметра $k$?

[мат-ламер]

Я вот тоже думаю. Куда это $k$ девался? Попробуйте проверить для небольших $n$.

[Whitaker]

мат-ламер
А знаете? У меня получился такой ответ: $\dfrac{1}{n-1}$;
Всего существует $(n-1)!$ различных перестановок "по кругу" и $(n-2)!$ можно переставить лица $\{P_3, \dots, P_n\}$

[PAV]

В зависимости от соотношения между $k$ и $n$ может получиться и $\frac{1}{n-1}$, и $\frac{2}{n-1}$ и даже $0$.

[Whitaker]

Если умножить мой ответ на 2, то получится Ваш ответ.
$2=2!$ - это число перестановок двух основных лиц $P_1$ и $P_2$. Но мне кажется, что не нужно умножать на 2, так как после перестановки местами двух основных лиц полученная расстановка содержится среди $(n-2)!$

-- Пн фев 13, 2012 22:00:19 --

Уважаемый PAV можно об этом чуть по-подробнее? Эту задачу дали на контрольной. Случай когда лица сидят за круглым столом мне не совсем понятен.

[PAV]

Whitaker
возьмите любую перестановку, которая у Вас получилась, и запишите ее в обратном порядке. Это может оказаться новая перестановка, которой еще не было, а число людей между требуемыми будет таким же.

Но здесь проще решать не через перестановки, а так, как подсказал мат-ламер

-- Пн фев 13, 2012 23:02:58 --

Хотя если уж требуется совсем формальное решение, с честным выписыванием пространства элементарных исходов и т.п., тогда действительно придется через перестановки.

[Whitaker]

PAV спасибо большое!
Еще такой вопрос.

PAV в сообщении #538398 писал(а):

В зависимости от соотношения между $k$ и $n$ может получиться и $\frac{1}{n-1}$, и $\frac{2}{n-1}$ и даже $0$.

А при каких $k$ и $n$ это может случиться?

-- Пн фев 13, 2012 22:07:56 --

Мне кажется, что если $n=2k+2$, то получается $\dfrac{1}{n-1}$. Это случай когда с одной и с другой стороны одинаковое количество людей. Правильно?
А в каком случае получится $0$?

[PAV]

Да, правильно. А ноль получится, если $k$ слишком большое.

-- Пн фев 13, 2012 23:10:29 --

То есть при $n<2k+2$

[Whitaker]

PAV в сообщении #538407 писал(а):

То есть при $n<2k+2$

Извините, а почему в этом случае вероятность равна нулю?

[PAV]

Ну потому что если мы отсчитаем столько мест с одной стороны, тогда с другой их получится меньше. По смыслу же из двух возможных направлений отсчета между людьми мы берем то, где стульев меньше. Иначе даже сумма вероятностей будет не единица, а больше.

(По смыслу задачи можно такие значения $k$ просто исключить, однако если в условии этого не сделано - тогда их формально надо бы рассмотреть).

-- Пн фев 13, 2012 23:17:37 --

Хотя впрочем нет, насчет суммы вероятностей я тут неправ.

-- Пн фев 13, 2012 23:18:53 --

Это зависит от уточнения вопроса. Если, например, стульев 5, а люди сидят рядом - можно ли сказать, что "между ними 3 человека"? Обычно все-таки нет.

-- Пн фев 13, 2012 23:19:35 --

И в любом случае больше чем $n-2$ эта величина точно быть не может, так что в таком случае ноль будет все равно.

[Whitaker]

PAV
Не знаю, но мне кажется, что при $n=2k+2$ вероятность равна $\dfrac{1}{n-1}$, а при $n\neq 2k+2$ вероятность равна $\dfrac{2}{n-1}$

[PAV]

Пусть $k=n=4$, что тогда?

[Whitaker]

PAV в сообщении #538418 писал(а):

Пусть $k=n=4$, что тогда?

В таком случае равна нулю.
Как обобщить этот случай? Можно ли сразу указать такие $n$ и $k$ при которых вероятность равна нулю?