Излишняя строгость в математических рассуждениях

[AnDe]

Хочу рассказать о проблеме, которая сопровождает меня при решении задач по математике. Сейчас я учусь в школе. Когда-то давно, я прочитал книгу по теории множеств, с аксиоматическим подходом, абсолютно строгим доказательством каждого факта. С тех пор эта строгость меня и мучает, я не могу найти границу между очевидным и тем, что нужно доказать. Например в задаче

Цитата:

Найти углы равнобокой трапеции, если известно, что диагональ разбивает ее на два равнобедренных треугольника

мне сначала кажется необходимым доказать, что если одна диагональ разбивает на два равнобедренных треугольника, то и другая также, и потому без разницы какую диагональ мы будем рассматривать. Хотя вроде это очевидно из соображений симметрии. И вообще еще было бы неплохо доказать, что такая трапеция существует.
Я конечно понимаю, что есть какой-то набор очевидных соображений и приемов которыми можно пользоваться, но это постоянно доставляет мне дискомфорт при решении задач. Иногда, например на олимпиадах получается заставить себя забыть об этой чепухе и спокойно решать задачи. У кого-нибудь были такие проблемы?

[Sonic86]

(Оффтоп)

Мда, вот еще один пример, когда получается, что нельзя просто говорить, что человек - разумное существо: часть своих же мыслей рассматривается как объективное обстоятельство, с которым надо научиться бороться или ладить

AnDe в сообщении #537342 писал(а):

Я конечно понимаю, что есть какой-то набор очевидных соображений и приемов которыми можно пользоваться, но это постоянно доставляет мне дискомфорт при решении задач.

У меня такого сильно не было, но тут только 2 варианта: в каждом случае научиться проверять: действительно ли очевидно это или нет и если неочевидно, то доказывать (в случае с существованием трапеции это сначала не нужно: можно попытаться найти параметры трапеции, а потом проверить, что она по этим параметрам восстанавливается - в конце задачи, но не сначала), а если очевидно - отбрасывать такие мысли (тут чисто рационально просто выглядит, а реально придется систематически выполнять акты осознавания, что не всегда просто - придется терпеть)
Можно проанализировать, как так получилось: Вы прочли книгу с существенно чуждым Вам способом мышления. Этот способ мышления остался у Вас в голове. Тогда попробуйте взять другую книгу, точную, но без формализма с большой долей интуитивно понятных соображений. Можно даже по тому же предмету. И прочесть ее: может клин клином если и не вышибется (по идее, должны в голове получится 2 разных способа мышления, включающихся в разные моменты времени), то хотя бы будет противодействовать.
Как-то так
Извините за банальный ответ.

[AnDe]

Sonic86
Никакой он не банальный) Спасибо, что ответили, действительно можно попробовать.

[EvilPhysicist]

Как говорят почти все математики, которых я знаю: " очевидно то, что легко доказывается ". И в математике очень много вещей, которые "очевидно" не правильные.

Рас вы читали книжку по теории множеств, вы могли там читать про мощности множеств, и если читали, то вспомните, что натуральные, целые и рациональные числа равно мощны, что очень и очень не "очевидно", но доказывается тривиально.

Так что если вам что-то кажется очевидным, но лень доказывать, лучше назовите это рабочей гипотезой. А ещё лучше всё-таки докажите.

[gris]

Недавно приводился шутошный пример геометрической задачи с избыточными данными. Решение по одному подмножеству не совпадало с решением по другому. Оказывается данные были незаметно противоречивы.
Кроме того, ковыряние может доставлять чисто эстетическое удовольствие. Но в экстремальных условиях олимпиады или экзамена оно, наверное, не всегда нужно. Хотя может принести бонусы.

[Munin]

Может быть, лучше посоветовать не принимать близко к сердцу олимпиады и экзамены? С таким отношением к математической строгости можно запросто вырасти в нового Дирихле, Цермело или Кронекера. А можно и в психушке окончить, вынуждает меня добавить честность...

[PAV]

AnDe
стремление к строгости в математике - это, в принципе, нормально. То, что Вы не хотите прикрываться любимым у многих словом "очевидно" - это очень даже неплохо. Со временем, когда Вы накопите определенный багаж действительно элементарных и общеизвестных математикам фактов и приемов рассуждений, ситуация должна выправиться естественным путем.

Мне кажется, что Вам следует обратить внимание немного на другую вещь. Судя по всему, Вы перфекционист, и поэтому Вам сложно отложить в сторону ту часть дела, которая сделана не идеально, и двигаться дальше, оставив себе заметку вернуться к отложенному позже, если останется время. Это тоже, собственно, не плохо, просто эта Ваша психологическая особенность такая. Если сумеете это в себе немножко подправить - хорошо. Не сумеете - тоже неплохо. Просто тогда нужно понимать, что Вы будете делать дела очень качественно, но при этом медленно. Это бывает очень нужно и полезно, однако нужно просто тогда найти себе в жизни соответствующее занятие и нишу. Вам тогда может подойти либо работа, где качество ценится более скорости, либо работа в коллективе, где Вам будут поручаться только соответствующие части общего дела.

[gris]

Кстати, в задаче про трапецию есть подвох. Кое-где квадрат тоже считается трапецией, и если это особо оговорить, то можно плюсик получить. А 6,4% школьников этим вариантом и ограничатся.

[AnDe]

Спасибо всем, кто ответил. Я благодарен Вам, за то что вы пытаетесь помочь мне.
gris
Я смотрел ту тему, интересный подвох. А с квадратом да, приму на заметку.
PAV
Действительно, мне трудно отложить задачу, которую я не смог решить, и начать следующею. Из-за этого я в детстве ничего толком до конца довести не мог

Может кто-нибудь сможет посоветовать литературу, где освещается этот вопрос. Я пока читал только Шеня: "О математической строгости в школьном курсе".

(Оффтоп)

Интересно, а "всем" нужно писать с большой или маленькой буквы?

[zaharov]

AnDe в сообщении #537342 писал(а):

Хочу рассказать о проблеме, которая сопровождает меня при решении задач по математике. Сейчас я учусь в школе. Когда-то давно, я прочитал книгу по теории множеств, с аксиоматическим подходом, абсолютно строгим доказательством каждого факта. С тех пор эта строгость меня и мучает, я не могу найти границу между очевидным и тем, что нужно доказать. Например в задаче

Сравнивая методы доказательства в логике высказываний с доказательствами в математике пришел к выводу, что математики вообще не знают, что такое доказательство.

[arseniiv]

(2 AnDe.)

AnDe в сообщении #537420 писал(а):

Интересно, а "всем" нужно писать с большой или маленькой буквы?

Вроде с маленькой. Или я чего-то не заметил.

zaharov, вы уверены, что темой не ошиблись?

[worm2]

Мне однажды снизили балл за задачу на олимпиаде, где я нашёл единственное решение неэквивалентными преобразованиями, но забыл его подставить в исходное уравнение.
Так что действительно нужно показать, что такие трапеции существуют (после того, как уже нашли все решения).