То, что замкнутый шар есть подмножество замыкания открытого шара, я доказал, а вот обратное включение не получается.
По-моему, Вы что-то перепутали. Очевидным является как раз обратное включение: замыкание открытого содержится в замкнутом. Т.е. из
![$x_n\to x\ \Leftrightarrow\ \|x_n-x\|\to0$ $x_n\to x\ \Leftrightarrow\ \|x_n-x\|\to0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/a/5/1a53021eb17f6cb0ea6aaeb6b712147782.png)
и
![$\|x_n\|<1$ $\|x_n\|<1$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/f/b4f3603a7758f83f512c79d5033b8f0482.png)
следует
![$\|x\|\leqslant1$ $\|x\|\leqslant1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/4/2/a42b28ac11bd428df26dd63a2663505182.png)
-- просто по неравенству треугольника.
А вот в обратную сторону уже несколько менее тривиально, тем более что в произвольных метрических пространствах оно и неверно. В нормированных к любой точке сферы можно сколь угодно приблизиться изнутри по радиусу, в метрических же это может и не пройти.