Больший шар в меньшем

[dashabalashova]

Вопрос про метрические пространства - нашла пример:
Может ли шар радиуса 4 быть подмножеством шара радиуса 3 в некотором метрическом пространстве?
Решение: Да, может. Рассмотрим метрическое пространство $M=\{(x,y) | \sqrt{x^2+y^2}\le3\}$ с обычным расстоянием. Тогда шары радиусов 3 и 4 с центром в точке (0, 0) совпадают.

Не понимаю, каким образом шар радиуса 4 "сжимается" до меньшего - почему, например, точка (0, 4) ему не принадлежит?

[Aritaborian]

Потому что она не принадлежит $M$. Но лучше бы не заниматься некропостингом.

[Anton_Peplov]

Можно привести пример попроще. Возьмем множество $(-\infty, -100] \cup \{0\} \cup [100, \infty)$. В нем все шары с центром $0$ и радиусом $r < 100$ между собой совпадают. А значит, $B(0, 99) \subset B (0, 1)$.

[ewert]

Стандарт ещё проще: берём $(0;+\infty)$, тогда $B(0.1,\,0.8)\subset B(0.5,\,0.5)$.

[Mikhail_K]

dashabalashova в сообщении #1214232 писал(а):

Не понимаю, каким образом шар радиуса 4 "сжимается" до меньшего - почему, например, точка (0, 4) ему не принадлежит?

Потому что шар в метрическом пространстве может состоять только из точек этого пространства.

Определение шара - это множество точек данного метрического пространства, отстоящих от центра не более чем на радиус.

А точки $(0,4)$ в метрическом пространстве $M$ нет - так что можно считать, что её и вообще нету. Пространство - оно на то и пространство, что вне его ничего нет.

[Anton_Peplov]

ewert в сообщении #1214281 писал(а):

Стандарт ещё проще

Стандарт хорош тем, что пространство есть промежуток - значит, не возникает иллюзии, что такая жуть как больший шар в меньшем возможна только в пространстве "с дырками" (говоря точно, не связном, но таких словей ТС пока не знает). А мой пример хорош тем, что оба шара имеют один и тот же центр и, значит, не возникает иллюзии, что это невозможно.

[Otta]

Дырки - дело десятое. Имхо, последний пример содержательнее, поскольку в нем шар большего радиуса строго вложен в шар меньшего.

[Anton_Peplov]

Otta в сообщении #1214311 писал(а):

Дырки - дело десятое.

Ну, это для кого как. Мне вот в пору знакомства с этим предметом довольно долго казалось, что дело в дырках.