Матрица жесткости (из з-на Гука) для ортотропного материала

[hostagedown]

Подскажите, пожалуйста, как найти коэффициенты Пуассона для ортотропного материала.

Матрица жесткости имеет вид:

$ \begin{bmatrix} \sigma_1 \\ \sigma_2 \\ \sigma_3 \\ \sigma_4 \\ \sigma_5 \\ \sigma_6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & 0 \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_{55} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_1 \\ \varepsilon_2 \\ \varepsilon_3 \\ \varepsilon_4 \\ \varepsilon_5 \\ \varepsilon_6 \end{bmatrix} $

Обратная, к которой есть:

$\underline{\underline{\mathsf{S}}} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{E_{\rm 1}} & - \tfrac{\nu_{\rm 21}}{E_{\rm 2}} & - \tfrac{\nu_{\rm 31}}{E_{\rm 3}} & 0 & 0 & 0 \\ -\tfrac{\nu_{\rm 12}}{E_{\rm 1}} & \tfrac{1}{E_{\rm 2}} & - \tfrac{\nu_{\rm 32}}{E_{\rm 3}} & 0 & 0 & 0 \\ -\tfrac{\nu_{\rm 13}}{E_{\rm 1}} & - \tfrac{\nu_{\rm 23}}{E_{\rm 2}} & \tfrac{1}{E_{\rm 3}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm 23}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm 31}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm 12}} \\ \end{bmatrix} $

Соответственно, я хочу понять, как находить модуль сдвига и коэффициенты Пуассона в данном случае, если мне известны свойства материала во всех трех направлениях.

Правильно ли я понимаю, что модуль сдвига, например ${G_{\rm xy}} (он же) {G_{\rm 12}}$ есть:

${G_{\rm 12}}= {E_{\rm 1}}/2(1+{\nu_{\rm 21}})$ ?

[Himfizik]

Пролистайте на досуге первые пять параграфов ЛЛ, Т.7. Вроде там должны быть ответы на Ваши вопросы. Та формула, что Вы написали, похоже что правильная. Во всяком случае, она более-менее совпадает с классической формулой, связывающей напряжение и модуль Юнга. За всеми подробностями надо опять же доставать ЛЛ, на память не помню.

[hostagedown]

Спасибо, посмотрю.

[Ruben]

Здравствуйте, уважаемые форумчане. Извиняюсь, что поднимаю старую тему, но обсуждения фактически не было, а вопрос остался. Ну как минимум и меня)

hostagedown в сообщении #534621 писал(а):

$$\underline{\underline{\mathsf{S}}} = \begin{bmatrix} \tfrac{1}{E_{\rm 1}} & - \tfrac{\nu_{\rm 21}}{E_{\rm 2}} & - \tfrac{\nu_{\rm 31}}{E_{\rm 3}} & 0 & 0 & 0 \\ -\tfrac{\nu_{\rm 12}}{E_{\rm 1}} & \tfrac{1}{E_{\rm 2}} & - \tfrac{\nu_{\rm 32}}{E_{\rm 3}} & 0 & 0 & 0 \\ -\tfrac{\nu_{\rm 13}}{E_{\rm 1}} & - \tfrac{\nu_{\rm 23}}{E_{\rm 2}} & \tfrac{1}{E_{\rm 3}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm 23}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm 31}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \tfrac{1}{G_{\rm 12}} \\ \end{bmatrix} $$

Соответственно, я хочу понять, как находить модуль сдвига и коэффициенты Пуассона в данном случае, если мне известны свойства материала во всех трех направлениях.

Интересно, нашел ли топикстартер ответ на свой первый вопрос? Дело в том, что для ортотропного тела из практики необходимо знать хотя бы 3 коэффициента Пуассона, а остальные 3, - симметричные к ним относительно главной диагонали, - находятся из отношений:

$$\cfrac{\nu_\rm 12}{\nu_\rm 21} = \cfrac{E_\rm 12}{E_\rm 21}, ...$$

и т.д.

А вот ответ на первый вопрос я тоже хотел бы знать.

Чтобы не писать много формул, не меняющих суть дела, ограничимся двумерным случаем.
Как известно, для изотропного тела, когда $E_1=E_2 = E$; $G_{12} = G$ и $\nu_{\rm 12} = \nu_{\rm 21} = \nu$, константа $G$ не является произвольной, а выражается через $E$ и $\nu$ по формуле:

$$G = \cfrac{E}{2(1+\nu)}$$

Отсюда следует (?), что $G_{12}$ зависит от констант $E_1$ и $E_2$ так, что при $E_1 = E_2= E$[/math], $G_{12} = \tfrac{E}{2(1+\nu)}$

Однако, в книжках по теории упругости утверждается, что $G_{12} $ произвольная постоянная.

(Оффтоп)

[Ruben]

Продолжение...

У Тимошенко в его "Теории упругости" дается наглядный метод определения константы $G$ (или модуль сдвига) в изотропном теле, если известны $E$ и $\nu $.

(Оффтоп)

Воспользуемся этим же методом для определения отношения угла сдвига $\gamma_{xy}$ в плоскости $OXY$ к касательному напряжению $\tau_{xy}$ в той же плоскости для ортотропного тела. Почему-то в учебниках для инженеров любят использовать плоскости $OYZ$, что иногда немного раздражает.

Очевидно, геометрические соотношения между углами и удлинениями остаются теми же и для ортотропного тела. То есть, для треугольника Obc имеем:

$$\cfrac{Oc}{Ob} = \tg \left(\cfrac{\pi}{4} - \cfrac{\gamma_{xy}}{2}\right) = \cfrac{1-\cfrac{\gamma_{xy}}{2}}{1+\cfrac{\gamma_{xy}}{2}} = \cfrac{1+\varepsilon_x}{1+\varepsilon_y} $$

Удлинения в случае ортотропного тела выражаются формулами ($-\sigma_{x} = \sigma_{y}= \tau_{xy}$):

$$\varepsilon_x = -\cfrac{\tau_{xy}}{E_{x}(1+\nu_{xy})};\quad \varepsilon_y= \cfrac{\tau_{xy}}{E_{y}(1+\nu_{yx})}=\cfrac{\tau_{xy}}{E_{x}(\delta+1+\nu_{xy})}$$

где $\delta=\cfrac{E_{x}-E_{y}}{E_{y}}$
Подставляя второе в первое, находим $\gamma_{xy}$:

$$\gamma_{xy} = \cfrac{2\tau_{xy}}{E_{x}}\cdot\cfrac{\left 1+ \cfrac{\varepsilon} {2} +\nu_{xy} }{1+\cfrac{\varepsilon} {2} +\cfrac{\tau_{xy}}{E_{x}}}$$

Отсюда:

$$G_{xy} = \cfrac{\tau_{xy}}{\gamma_{xy}} = \cfrac{E_{x}\cdot\left(1+\cfrac{\delta\cdot\tau_{xy}}{2E_{x}}\right)} {2 \left( 1+ \nu_{xy}\right) + \delta} \qquad \qquad \qquad \qquad (A) $$

Не является константой, как должно следовать из (4.6) предыдущего поста (Лехницкий).

Но вот что интересно. Для большинства твердых упругих тел отношение $\cfrac{ \tau_{xy}}{E_x}$ в области упругой деформации является как минимум на 2, а то и 3 порядка меньше единицы. Есть, разумеется и исключения из этого "правила", например резина. Множитель $\cfrac{ $\delta }{2}$ так же практически не бывает больше 10. Вообщем, если пренебречь вторым слагаемым в скобке числителя, то $G_{xy}$ становится константой:

$$G_{xy} = \cfrac{\tau_{xy}}{\gamma_{xy}} = \cfrac{ E_{x}} {2 \left( 1+ \nu_{xy}\right) + \delta} \qquad \qquad \qquad \qquad (B) $$

и при $\delta = 0$ закономерно приходим к известной формуле модуля сдвига изотропного тела.

Так как в учебной литературе указания на зависимость модуля сдвига в ортотропном теле от каких-либо параметров не нашел, то обратился к гуглению. Поиск привел меня к двум упоминаниям про такую связь. Первое что я нашел в сети - это, как ни странно, справку по программе конечноэлементного анализа механических систем SolidWorks Simulation со следующей формулой (вставил картинкой):


Которая совпадает с (B). Второе упоминание я нашел в некой статье, в которой с оговоркой, что для упрощения выкладок некоторые авторы накладывают на модуль $G$ дополнительные ограничения, дается формула

$$G_{x,y}=\cfrac{ \sqrt {E_{x}E_{y}}}{2\left( 1+\sqrt {\nu_{xy}\nu_{yx}} \right) } =\cfrac{ E_{x}} {2 \left( \sqrt {1+\delta}+ \nu_{xy}\right)} $$

со ссылкой на монографию: Концентрация напряжений / Под ред. А. Н. Гузя, А. С. Космодамианского, В.П.Шевченко. – К.: А.С.К., 1998. – 387 с. (Механика композитов: В 12 т. Т.7.).

Легко заметить, что при $\delta \to 0 $ раскладывая корень в ряд Маклорена и беря первый член, приходим снова к (B).

Итак, по этому поводу у меня ряд вопросов:

1. Формула (A) верная или нет ? Если нет, то почему ? Если да, то как может быть $G_{xy}$ не константой ?
2. $G_{xy}$ Произвольная константа или зависимая? Если второе, то почему в учебниках говорят обратное, а если первое, то как она может стремиться к пределу для изотропного тела?

[peregoudov]

Меня в эту тему призвали, но я, честно говоря, не вполне понимаю суть вопросов, тут требуется уточнение. Поэтому пока напишу кое-что предположительно и задам встречные вопросы.

Ruben в сообщении #1108104 писал(а):

Интересно, нашел ли топикстартер ответ на свой первый вопрос? <...>

А вот ответ на первый вопрос я тоже хотел бы знать.

Неясно, что имеется в виду под "первым вопросом". К тому же, есть ощущение, что в одном из случаев должен фигурировать "второй вопрос".

Цитата:

Дело в том, что для ортотропного тела из практики необходимо знать хотя бы 3 коэффициента Пуассона, а остальные 3, - симметричные к ним относительно главной диагонали, - находятся из отношений:

$$\cfrac{\nu_\rm 12}{\nu_\rm 21} = \cfrac{E_\rm 12}{E_\rm 21}, ...$$

и т.д.

Тут обозначения не согласуются с тем, что написано у автора темы и в цитируемой далее книжке (Лехницкого?). Предполагаю, что вместо $E_{12}$ должно быть просто $E_1$.

Ruben в сообщении #1108104 писал(а):

Как известно, для изотропного тела, <...>, константа $G$ не является произвольной <...>

Однако, в книжках по теории упругости утверждается, что $G_{12} $ произвольная постоянная.

Тут нет противоречия, так как в первом случае имеется в виду изотропное тело, а во втором --- ортотропное.

Ruben в сообщении #1108131 писал(а):

У Тимошенко в его "Теории упругости" дается наглядный метод определения константы $G$ (или модуль сдвига) в изотропном теле, если известны $E$ и $\nu $.

Не вижу в приведенном отрывке никакого смысла. Изотропное тело характеризуется двумя упругими постоянными, а уж как их выбирать --- в виде коэффициентов Ламе, модуля всестороннего сжатия и модуля сдвига, модуля Юнга и коэффициента Пуассона --- это уже вкусовщина, лишь бы один набор выражался через другой взаимно обратимым способом. Впрочем, возможно, тут имеется неявный отсыл к загадочной фразе автора темы

hostagedown в сообщении #534621 писал(а):

Соответственно, я хочу понять, как находить модуль сдвига и коэффициенты Пуассона в данном случае, если мне известны свойства материала во всех трех направлениях.

Я могу предположить следующую интерпретацию этой фразы: как вычислить упругие постоянные тела по его реакции на однородные деформации. Вот такая постановка мне понятна: мы имеем некоторое тело, подвергаем его однородной деформации, снимаем деформационные характеристики (какие?), снимаем характеристики напряженного состояния (какие?) и из всех этих данных восстанавливаем упругие постоянные. Тут можно порассуждать, какие именно характеристики снимать, как деформировать и сколько всего экспериментов нужно. Если, конечно, задача ставится именно так.

Ruben в сообщении #1108131 писал(а):

Не является константой, как должно следовать из (4.6) предыдущего поста (Лехницкий).

В выкладках детально не разбирался, но сдается мне, вы превышаете точность. Ведь в линейной теории упругости все соотношения линейны именно потому, что высшими степенями пренебрегают... Думаю, лишнее отношение $\tau_{xy}/E_x$ нужно просто отбросить.

Ruben в сообщении #1108131 писал(а):

1. Формула (A) верная или нет ? Если нет, то почему ? Если да, то как может быть $G_{xy}$ не константой ?

Кажется, на это уже отвечено выше.

Ruben в сообщении #1108131 писал(а):

2. $G_{xy}$ Произвольная константа или зависимая?

(Я разобью вопрос на два.) В изотропном теле --- зависимая, в ортотропном --- произвольная.

Цитата:

Если второе, то почему в учебниках говорят обратное, а если первое, то как она может стремиться к пределу для изотропного тела?

По поводу "обратного" уже комментировал выше, а вот вторая половина вопроса видится мне так: вот у нас есть произвольная матрица 2х2, у нее 4 независимых элемента. А вот у нас есть симметричная матрица 2х2, у которой всего 3 независимых элемента. Вот как могут элементы произвольной 2х2 матрицы стремиться к пределу, когда матрица становится симметричной? Ну, вот так и стремятся, по определению, потому что симметричная матрица --- это такая, у которой два внедиагональных элемента совпадают.

Вроде все, если чего не так понял, жду уточняющих вопросов.

[Zai]

Ruben в сообщении #1108104 писал(а):

$$\cfrac{\nu_\rm 12}{\nu_\rm 21} = \cfrac{E_\rm 12}{E_\rm 21}, ...$$

и т.д.

Надо же, у В.В Васильева "Механика конструкций из композиционных материалов", М, М, 1988 на с.34-35 коэффициенты Пуассона по другому обозначаются.
${E_\rm 1}{\mu_\rm 12} = {E_\rm 2}{\mu_\rm 21}$
А у Вас что за автор?

[Ruben]

Эх, так давно не отвечали в эту тему, что я уже перестал заходить. А как зашел, так сразу две новости: ответ в теме и вечный бан Перегудова ...

Но всё же я отвечу сюда, мало ли что. Начну с конца:

peregoudov в сообщении #1114461 писал(а):

Цитата:

$G_{xy}$ Произвольная константа или зависимая?

В изотропном теле --- зависимая, в ортотропном --- произвольная.

Отлично. Далее:

peregoudov в сообщении #1114461 писал(а):

Цитата:

если первое, то как она может стремиться к пределу для изотропного тела?

вот у нас есть произвольная матрица 2х2, у нее 4 независимых элемента. А вот у нас есть симметричная матрица 2х2, у которой всего 3 независимых элемента. Вот как могут элементы произвольной 2х2 матрицы стремиться к пределу, когда матрица становится симметричной? Ну, вот так и стремятся, по определению, потому что симметричная матрица --- это такая, у которой два внедиагональных элемента совпадают.

Затык в том, что константа $G_{12}$ как раз на главной диагонали расположена, а раз она от остальных элементов матрицы не зависит, то при "стремлении матрицы к симметричной" она как была независимая, так и должна независимой остаться. А раз стремится, то она зависит от отношения внедиагональных элементов.

А теперь по порядку и с начала:

peregoudov в сообщении #1114461 писал(а):

Ruben в сообщении #1108104 писал(а):

Интересно, нашел ли топикстартер ответ на свой первый вопрос? <...>

А вот ответ на первый вопрос я тоже хотел бы знать.

Неясно, что имеется в виду под "первым вопросом". К тому же, есть ощущение, что в одном из случаев должен фигурировать "второй вопрос".

Ну как же, вот текст первого сообщения ТС-а, в котором я жирным выделил соответственно первый и второй вопросы по порядку задавания:

hostagedown в сообщении #534621 писал(а):

Соответственно, я хочу понять, как находить модуль сдвига и коэффициенты Пуассона в данном случае, если мне известны свойства материала во всех трех направлениях.

peregoudov в сообщении #1114461 писал(а):

Цитата:

Дело в том, что для ортотропного тела из практики необходимо знать хотя бы 3 коэффициента Пуассона, а остальные 3, - симметричные к ним относительно главной диагонали, - находятся из отношений:

$$\cfrac{\nu_\rm 12}{\nu_\rm 21} = \cfrac{E_\rm 12}{E_\rm 21}, ...$$

и т.д.

Тут обозначения не согласуются с тем, что написано у автора темы и в цитируемой далее книжке (Лехницкого?). Предполагаю, что вместо $E_{12}$ должно быть просто $E_1$.

Да, это меня понесло.

peregoudov в сообщении #1114461 писал(а):

Ruben в сообщении #1108104 писал(а):

Как известно, для изотропного тела, <...>, константа $G$ не является произвольной <...>

Однако, в книжках по теории упругости утверждается, что $G_{12} $ произвольная постоянная.

Тут нет противоречия, так как в первом случае имеется в виду изотропное тело, а во втором --- ортотропное.

В этом и вопрос. Ортотропное -- это когда $E_1 \not = E_2$ и G_{12}, изотропное -- это когда $E_1 = E_2 = E$ и тогда G_{12}= G = \cfrac{E}{2(1+\nu)} . Т.к. при $E_1 \to E_2$ должно быть $G_{12}\to \cfrac{E}{2(1+\nu)}$, то $G_{12}$ -- функция $E_1/E_2$.

Это ошибка?

peregoudov в сообщении #1114461 писал(а):

Ruben в сообщении #1108131 писал(а):

У Тимошенко в его "Теории упругости" дается наглядный метод определения константы $G$ (или модуль сдвига) в изотропном теле, если известны $E$ и $\nu $.

Не вижу в приведенном отрывке никакого смысла. Изотропное тело характеризуется двумя упругими постоянными

Да, действительно, я привожу книжное доказательство для изотропного тела формулы для G. Как я только что говорил, я предположил, что т.к. G_{12}\to \cfrac{E}{2(1+\nu)} при $E_1 \to E_2$, то для $G_{12}$ так же должна быть подобная формула, и я её попытался вывести точно таким же способом как её выводили в книжке для изотропного тела, с той лишь разницей, что в решении я не полагал , что $E_1 = E_2$. И эту формулу я получил (формула B), а также нашел сведения, что такую формулу используют в одной (как минимум) программе-решателе, но лишь тогда, когда пользователь не указал значение $G_{12}$. То есть, такой зависимости нет, но при недостатке данных можно так принять, хоть это и не верно. Вот мне и интересно, где же я ошибся, если я зависимость получил, а её, на самом-то деле нет!

peregoudov в сообщении #1114461 писал(а):

Впрочем, возможно, тут имеется неявный отсыл к загадочной фразе автора темы

hostagedown в сообщении #534621 писал(а):

Соответственно, я хочу понять, как находить модуль сдвига и коэффициенты Пуассона в данном случае, если мне известны свойства материала во всех трех направлениях.

Совершенно верно! Это и были первый и второй вопросы ТС-а, заданные в конце текста. Был еще третий и последний:

hostagedown в сообщении #534621 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что модуль сдвига, например ${G_{\rm xy}} (он же) {G_{\rm 12}}$ есть:

${G_{\rm 12}}= {E_{\rm 1}}/2(1+{\nu_{\rm 21}})$ ?

на который следует дать отрицательный ответ.

peregoudov в сообщении #1114461 писал(а):

Я могу предположить следующую интерпретацию этой фразы: как вычислить упругие постоянные тела по его реакции на однородные деформации.

Да, я понимаю, что такая постановка правильная и это отдельная задача, некоторые из решений которой приведены в справочниках. Например, тело растягивают в ортогональных направлениях и плюс к тому под углом Пи/4. Но я хочу, чтобы указали на ошибку в именно моих рассуждениях. Как же так: стремим $E_1$ к $E_2$, а $G_{12}$ продолжает оставаться произвольной? А когда наконец $E_1 = E_2$, то $G_{12}$ сразу становится зависимым от $E = E_1 = E_2$. Как такое может быть ?

peregoudov в сообщении #1114461 писал(а):

Ruben в сообщении #1108131 писал(а):

Не является константой, как должно следовать из (4.6) предыдущего поста (Лехницкий).

В выкладках детально не разбирался, но сдается мне, вы превышаете точность. Ведь в линейной теории упругости все соотношения линейны именно потому, что высшими степенями пренебрегают... Думаю, лишнее отношение $\tau_{xy}/E_x$ нужно просто отбросить.

Ну так я её и отбросил и получил формулу (B) ! Цитирую:

Цитата:

$$G_{xy} = \cfrac{\tau_{xy}}{\gamma_{xy}} = \cfrac{E_{x}\cdot\left(1+\cfrac{\delta\cdot\tau_{xy}}{2E_{x}}\right)} {2 \left( 1+ \nu_{xy}\right) + \delta} \qquad \qquad \qquad \qquad (A) $$

Но вот что интересно. Для большинства твердых упругих тел отношение $\cfrac{ \tau_{xy}}{E_x}$ в области упругой деформации является как минимум на 2, а то и 3 порядка меньше единицы. ... Вообщем, если пренебречь вторым слагаемым в скобке числителя, то $G_{xy}$ становится константой:

$$G_{xy} = \cfrac{\tau_{xy}}{\gamma_{xy}} = \cfrac{ E_{x}} {2 \left( 1+ \nu_{xy}\right) + \delta} \qquad \qquad \qquad \qquad (B) $$

и при $\delta = 0$ закономерно приходим к известной формуле модуля сдвига изотропного тела.

peregoudov в сообщении #1114461 писал(а):

Вроде все, если чего не так понял, жду уточняющих вопросов.

Но теперь только в личке.

-- 22.04.2016, 20:57 --

Zai в сообщении #1114913 писал(а):

А у Вас что за автор?

Ой, этих авторов столько и у каждого свои. Но у Тимошенко и Лехницкого, которых я тут цитировал, обозначения коэф. Пуассона совпадали и оба $\nu$. Я так понял, что в учебниках для расчетчиков-прочнистов, типа сопромата или строительной механики, обозначение чаще $\mu$, а в книжках по теории упругости -- $\nu$.

[Zai]

Ruben в сообщении #1117595 писал(а):

Zai в сообщении #1114913 писал(а):

А у Вас что за автор?

Ой, этих авторов столько и у каждого свои. Но у Тимошенко и Лехницкого, которых я тут цитировал, обозначения коэф. Пуассона совпадали и оба $\nu$. Я так понял, что в учебниках для расчетчиков-прочнистов, типа сопромата или строительной механики, обозначение чаще $\mu$, а в книжках по теории упругости -- $\nu$.

Авторов то может много и обозначения в учебниках от обозначениях в книжках отличаются. А если индексы $\mu_{12} и $\nu_{21} перепутаны? Вы кстати при перепечатке из своей цитируемой книжки для модулей упругости ввели дополнительный двузначный индекс. Новое ли это слово в теории ортотропных сред?

[Ruben]

Zai в сообщении #1117955 писал(а):

Авторов то может много и обозначения в учебниках от обозначениях в книжках отличаются.

Замечу, что всё цитированное выше, включая Васильева -- учебники.

Цитата:

А если индексы $\mu_{12} и $\nu_{21} перепутаны?

Так же перепутаны, как у вас в предыдущем посте (как у Васильева) ? Я думаю, что это не важно: главное явно выписать равенство симметричных элементов матрицы. Но моя форма записи по части индексов Пуассона совпадает с формой ТС-а и учебника, на который я ссылался (Лехницкого).

Цитата:

Вы кстати при перепечатке из своей цитируемой книжки для модулей упругости ввели дополнительный двузначный индекс. Новое ли это слово в теории ортотропных сред?

Конкретно в той записи -- да, новое слово, которое я произносить больше не буду. А если вообще, то использование символов $E_{12}$ и $E_{21}$ -- слово не новое, есть и такая запись двойными индексами, например, тут (формула 3). Но она, конечно же, используется без коэффициентов Пуассона. А вы бы, всё-таки, перед тем как сделать новый пост в теме, прочитывали её - экономит время. Я объяснял выше, что тут меня понесло.

[GerasOlga]

Доброго времени суток всем!
Могу предположить откуда появились коэффициенты при модуле сдвига 12...
Столкнулась с подобным при задании свойств материала в известном пакете.
При задании свойств материала -2D ортотропик, требуется указать модуль Юнга 11 и 22, коэффициент Пуассона 12, а так же модули сдвига 12, 23 и 13.
Вопрос: помогите понять, что они имеют под 23 и 13, каков из физический смысл и как определить для конкретного материала? Разрывная машина имеется.