Равенство с целой частью

[Whitaker]

Здравствуйте уважаемые друзья!
Попалась такая задачка из книги Гашкова-Чубарикова "Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений."
Доказать, что при любом натуральном $n$ верно равенство: $[\sqrt{n}+\sqrt{n+1}]=[\sqrt{4n+2}]$.
Вот моя попытка решения: Для начала докажем, что верно неравенство $\sqrt{n}+\sqrt{n+1}<\sqrt{4n+2}$. Возводя обе части в квадрат и отняв с обеих частей $2n+1$ и затем снова возводим в квадрат и отнимем с обеих частей $4n^2+4n$ и получаем, что: $0<1$. Значит, $\sqrt{n}+\sqrt{n+1}<\sqrt{4n+2}$.
Так как функция $[ ]$ - неубывающая, то $[\sqrt{n}+\sqrt{n+1}]\leq[\sqrt{4n+2}]$.
Если бы было $[\sqrt{n}+\sqrt{n+1}]<[\sqrt{4n+2}]$, то существует $m\in \mathbb{N}$, что: $\sqrt{n}+\sqrt{n+1}<m\leq\sqrt{4n+2}$. Возводя обе части в квадрат получаем:

$$2n+1+2\sqrt{n(n+1)}<m^2\leq 4n+2 \Leftrightarrow$$

$$2\sqrt{n(n+1)}<m^2-2n-1\leq 2n+1 \Leftrightarrow$$

$$4n(n+1)<(m^2-2n-1)^2\leq (2n+1)^2 \Leftrightarrow$$

$$0<(m^2-2n-1)^2-4n^2-4n\leq 1 \Leftrightarrow$$

$$-1<(m^2-2n-1)^2-(4n^2+4n+1)\leq 0 \Leftrightarrow$$

$$-1<m^2(m^2-4n-2)\leq 0 \Leftrightarrow$$

Но ведь $m>0$ и $m^2-4n-2>0$. Противоречие. В итоге получаем, что: $[\sqrt{n}+\sqrt{n+1}]=[\sqrt{4n+2}]$.
Скажите пожалуйста правильно ли я решил?

(Источник)

Австрийская олимпиада 1974

С уважением, Whitaker.

[Someone]

Whitaker в сообщении #534520 писал(а):

$m^2-4n-2>0$

А это откуда?

[Whitaker]

Someone Вы правы. Я поторопился.
У меня получается, что $m^2-4n-1>0$. А вот насчёт $m^2-4n-2$ ничего сказать не могу

[Someone]

Ну, поскольку $m$ и $n$ целые...

[bot]

Пример-подсказка: неравенства $x>3$ и $x\geqslant 4$ для $x\in \mathbb Z$ равносильны.

[Whitaker]

Someone в сообщении #534542 писал(а):

Ну, поскольку $m$ и $n$ целые...

Если $m,n \in \mathbb{Z}$, то $m^2-4n-2\in \mathbb{Z}$

-- Пт фев 03, 2012 16:35:20 --

Так как $-1<m^2(m^2-4n-2)\leq 0$ и $m,n \in \mathbb Z, m>0$, то получаем, что: $m^2-4n-2=0$
Наверное должно получиться что-то в этом роде?

[Null]

$m^2-4n-2=0$ Такого быть не может при целых $m$ и $n$.

[Whitaker]

Мы получаем, что $m^2=4n+2$, т.е. $m^2=2(2n+1)$, но $m,n \in \mathbb Z$. Что невозможно.
Я прав?

[Whitaker]

Благодарю Null, bot и Someone за помощь в решении задачи!

[bot]

В правой части можно взять $4n+3$.

[Whitaker]

Да согласен с Вами, bot