Комбинаторика, помогите понять условие задачи

[Ktina]

Let be given three-element subsets A1,A2, . . . ,A6 of a six-element set X.
Prove that the elements of X can be colored with two colors in such a way
that none of the given subsets is monochromatic.

Я так поняла, что выбираются 6 троек из 20 возможных (так как 3 из 6 можно выбрать 20-ю способами).
Но если я верно поняла условие задачи, то его (это условие) можно значительно усилить.
Разобьём все 20 возможных троек на пары:

123-456
124-356
125-346
126-345
134-256
135-246
136-245
145-236
146-235
156-234

Теперь пусть из 20 возможных троек выбрали не 6, а даже 9. Тогда по-любому одна пара осталась свободной, её и покрасим в 2 цвета. Например, если пара 135-246 свободна, то красим первый, третий и пятый элементы в красный, а остальные - в синий. Тогда ни одна из девяти выбранных троек не сможет быть одноцветной, ведь для того, чтобы быть одноцветной, ей требуется быть либо 135, либо 246.

Вот у меня такое ощущение, что либо я условие не поняла, либо перевела неправильно, либо что-то упустила в решении.

Пожалуйста, помогите разобраться.

[Хорхе]

Да все Вы правильно поняли. Задача простая.

(Оффтоп)

Есть еще проще решение: покрасить каждый элемент в два цвета, тогда хоть двадцать множеств выбирай, одноцветных не будет.

[Ktina]

Хорхе в сообщении #534360 писал(а):

Да все Вы правильно поняли. Задача простая.

(Оффтоп)

Есть еще проще решение: покрасить каждый элемент в два цвета, тогда хоть двадцать множеств выбирай, одноцветных не будет.

Спасибо!

Только теперь заметила, что олимпиада для четвёртого класса была
http://www.imomath.com/othercomp/Slo/SloMO99.pdf

[Хорхе]

Думаю, это 11-й класс, а составители просто переоценили сложность задачи. Скорее всего, исходная формулировка была с другими количествами элементов, и при упрощении не обратили внимание на то, что сделали задачу тривиальной.

[Cash]

При таком понимании задачи можно давать не 6, не 9, а 18 троек (оставшиеся 2 тройки красим в свои цвета). Что-то здесь явно не так - это должна быть сложнейшая задача олимпиады.

[Хорхе]

18 троек не получится, это раз.

Во-вторых, задача, возможно была другой, а при переводе что-то нахомутали. Например, было семиэлементное множество, а стало шестиэлементное. (Кстати, для семиэлементного множества достаточно интересно построить контрпример из семи троек - пример, конечно, известный.)