Минимум

[integral2009]

$\sqrt{x^2+y^2+z^2}\to \min$

$xyz=2$

$x>0$

$y>0$

$z>0$


Есть идея написать, что $z=\dfrac{1}{xy}$

Пусть $l=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Будем искать минимум $l^2=x^2+y^2+\dfrac{1}{x^2y^2}$

А как дальше? Правильно?

[gris]

Только там 2 в числителе. А так можно догадаться о неравенстве и доказать его.

[integral2009]

gris в сообщении #531969 писал(а):

Только там 2 в числителе. А так можно догадаться о неравенстве и доказать его.

Понятно, спасибо, эта ошибка и помешала догадаться))

Опс, там мешают квадраты...

-- Пт янв 27, 2012 17:17:26 --

$\sqrt{x^2+y^2+\dfrac{2}{x^2y^2}}\to \min$

$\sqrt{(x+y)^2-2xy+\dfrac{2}{x^2y^2}}\to \min$

$\sqrt{(x+y)^2+xy(\dfrac{1}{x^3y^3}-1)}\to \min$

Все равно что-то не придумать...

[ShMaxG]

Как вариант, можете к полярным координатам перейти. Задача становится очень простой.

-- Пт янв 27, 2012 19:43:26 --

И когда подставили зет в корень, то в числителе будет 4, а не 2.

[EtCetera]

Зачем полярные координаты? Требуется минимизировать длину диагонали параллелепипеда заданного объема. Соответственно, использовать нужно неравенство между средними (арифметическим и геометрическим), предварительно возведя объем в квадрат.

[nnosipov]

integral2009 в сообщении #531963 писал(а):

$\sqrt{x^2+y^2+z^2}\to \min$

$xyz=2$

$x>0$

$y>0$

$z>0$

Эта задача станет очевидной, если воспользоваться хорошо известным фактом: среднее арифметическое трёх положительных чисел не меньше их среднего геометрического. Разнообразные доказательства этого факта (справедливого не только для трёх, но и для любого количества положительных чисел) нетрудно найти в литературе.

[ShMaxG]

nnosipov в сообщении #532021 писал(а):

Эта задача станет очевидной, если воспользоваться хорошо известным фактом: среднее арифметическое трёх положительных чисел не меньше их среднего геометрического. Разнообразные доказательства этого факта (справедливого не только для трёх, но и для любого количества положительных чисел) нетрудно найти в литературе.

А можно не помнить никаких неравенств и док-в и без отсылок к литературе решить задачу... Не люблю эти неравенства, вся романтика решения пропадает . В общем, это неравенство -- та самая пушка.

[MaximVD]

$\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ - неотрицательная функция, поэтому можно минимизировать её квадрат, т.е. $x^2 + y^2 + z^2$. Точка минимума при этом не изменится.

[Shadow]

Корень и условия неотрицательности абсолютно ненужны и их присуствие наводит на мысль, что в решении подразумевается использовать неравенства о средних. (В случае ср. квадратическое не меньше ср. геометрического)

[nnosipov]

ShMaxG в сообщении #532023 писал(а):

Не люблю эти неравенства, вся романтика решения пропадает . В общем, это неравенство -- та самая пушка.

Но так или иначе его придётся доказать --- ведь задача ему эквивалентна.

[ShMaxG]

nnosipov
Это да, согласен. Задачу можно решить не помня или не зная неравенство, хотя и с ним, конечно, возможно.

[integral2009]

EtCetera в сообщении #532017 писал(а):

Зачем полярные координаты? Требуется минимизировать длину диагонали параллелепипеда заданного объема. Соответственно, использовать нужно неравенство между средними (арифметическим и геометрическим), предварительно возведя объем в квадрат.

Спасибо, сделал так:

$\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}\geqslant \sqrt[3]{x^2y^2z^2}$

$\dfrac{x^2+y^2+z^2}{3}\geqslant \sqrt[3]{2^2}$

$x^2+y^2+z^2\geqslant 3\cdot 2^{2/3}$

Но это ведь еще не значит, что $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ минимум у нас будет $\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{2}$

Может быть есть число меньше?

-- Пт янв 27, 2012 19:39:51 --

nnosipov в сообщении #532021 писал(а):

Эта задача станет очевидной, если воспользоваться хорошо известным фактом: среднее арифметическое трёх положительных чисел не меньше их среднего геометрического. Разнообразные доказательства этого факта (справедливого не только для трёх, но и для любого количества положительных чисел) нетрудно найти в литературе.

Ок, спасибо, воспользовался!

-- Пт янв 27, 2012 19:43:49 --

ShMaxG в сообщении #532015 писал(а):

Как вариант, можете к полярным координатам перейти. Задача становится очень простой.

А как она станет простой?

Нужно будет минимизировать $\rho$, а что делать --- не представляю

$x=\rho\cos\phi$

$y=\rho\sin\phi$

$z=\frac{2}{\rho^2\sin\phi\cos\phi}$

$x^2+y^2+z^2=\rho^2+\frac{2}{\rho^2\sin\phi\cos\phi}$

[EtCetera]

integral2009

integral2009 в сообщении #532044 писал(а):

Но это ведь еще не значит, что $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ минимум у нас будет $\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{2}$
Может быть есть число меньше?

Если бы такое число существовало, неравенство бы не выполнялось .
Кстати, ответ очень красивый получился.

[integral2009]

EtCetera в сообщении #532046 писал(а):

integral2009

integral2009 в сообщении #532044 писал(а):

Но это ведь еще не значит, что $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ минимум у нас будет $\sqrt{3}\cdot \sqrt[3]{2}$
Может быть есть число меньше?

Если бы такое число существовало, неравенство бы не выполнялось .
Кстати, ответ очень красивый получился.

Ок, спасибо!

[nnosipov]

integral2009 в сообщении #532044 писал(а):

Может быть есть число меньше?

Как?! Вы же только что доказали, что меньше не бывает. И осталось Вам всего ничего: подобрать $x$, $y$, $z$ так, чтобы значение выражения $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ было в точности равно $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{2}$ и при этом произведение $xyz$ было равно $2$.