Минимум

[ShMaxG]

integral2009 в сообщении #532044 писал(а):

Нужно будет минимизировать $\rho$

Нет, не $\rho$. При любом фиксированном $\rho$ Вы всегда можете подобрать очевидным образом угол $\phi$, что выражение будет самым маленьким. Такое $\phi$ и возьмите. Получится простое выражение для $\rho$, минимум которого легко найти.

[integral2009]

nnosipov в сообщении #532049 писал(а):

Как?! Вы же только что доказали, что меньше не бывает. И осталось Вам всего ничего: подобрать $x$, $y$, $z$ так, чтобы значение выражения $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ было в точности равно $\sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{2}$ и при этом произведение $xyz$ было равно $2$.

Ок, понятно, спасибо!

Еще одна задачка осталась на эту тему: наибольший объем прямоугольного параллелепипеда, площадь полной поверхности которого равна 3.

Пусть $x,y,z$ -- три стороны параллелепипеда.

$V=xyz$

$S_{\text{полн}}=2(xy+xz+yz)=3$

С чего тут можно начать? К чему стремиться?!

[EtCetera]

integral2009

integral2009 в сообщении #532057 писал(а):

С чего тут можно начать? К чему стремиться?!

Примените к сумме $xy+xz+yz$ то же самое неравенство.

[integral2009]

ShMaxG в сообщении #532051 писал(а):

Нет, не $\rho$. При любом фиксированном $\rho$ Вы всегда можете подобрать очевидным образом угол $\phi$, что выражение будет самым маленьким. Такое $\phi$ и возьмите. Получится простое выражение для $\rho$, минимум которого легко найти.

Ок, спасибо, попробую!

$\Phi=\rho^2+\frac{2}{\rho^2\sin\phi\cos\phi}=\rho^2+\frac{4}{\rho^2\sin2\phi}$

$\Phi'(\phi)=-\frac{8\cos2\phi}{\rho^2\sin^2{2\phi}}$

-- Пт янв 27, 2012 20:23:58 --

EtCetera в сообщении #532058 писал(а):

integral2009

integral2009 в сообщении #532057 писал(а):

С чего тут можно начать? К чему стремиться?!

Примените к сумме $xy+xz+yz$ то же самое неравенство.

Ох, точно, все понятно, спасибо!

$\dfrac{zy+xz+yz}{3}\geqslant \sqrt[3]{xyxzyz}$

$\dfrac{zy+xz+yz}{3}\geqslant \sqrt[3]{V^2}$

$V\leqslant \Big(\dfrac{zy+xz+yz}{3}\Big)^{3/2}$

[ShMaxG]

integral2009
Нет.

$\[\Phi = {\rho ^2} + \frac{4}{{{\rho ^4}{{\sin }^2}\phi {{\cos }^2}\phi }} = {\rho ^2} + \frac{{16}}{{{\rho ^4}{{\sin }^2}2\phi }}\]$

Отсюда должно быть видно, какие значения фи делают это выражение самым маленьким при фиксированном ро. Потом подставьте это значение. Получите выражение только от ро. Его и минимизируйте.

[integral2009]

ShMaxG в сообщении #532062 писал(а):

integral2009
Нет.

$\[\Phi = {\rho ^2} + \frac{4}{{{\rho ^4}{{\sin }^2}\phi {{\cos }^2}\phi }} = {\rho ^2} + \frac{{16}}{{{\rho ^4}{{\sin }^2}2\phi }}\]$

Отсюда должно быть видно, какие значения фи делают это выражение самым маленьким при фиксированном ро. Потом подставьте это значение. Получите выражение только от ро. Его и минимизируйте.

Ок, спасибо! Вот так будет $\[\Phi={\rho ^2} + \frac{{16}}{\rho^4}$

$\[\Phi'(\rho)=2\rho-\dfrac{4\cdot 2^4}{\rho^5}=0$

$\rho^6=2^5$

$\rho=2^{5/6}$

Что-то ответ не совпал

[ShMaxG]

integral2009 в сообщении #532066 писал(а):

Что-то ответ не совпал

$\[\rho = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \]$, а не $\[\rho = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \]$.

[integral2009]

ShMaxG в сообщении #532067 писал(а):

integral2009 в сообщении #532066 писал(а):

Что-то ответ не совпал

$\[\rho = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \]$, а не $\[\rho = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \]$.

Точно)

$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{\rho^2+\frac{4}{\rho^2\sin2\phi}}=\sqrt{2^{5/3}+\dfrac{2^2}{2^{5/3}}}=\sqrt{2^{5/3}+2^{1/3}}$

[ShMaxG]

integral2009
В знаменателе не ро квадрат, а ро в четвертой степени!

-- Пт янв 27, 2012 21:44:46 --

И синус в квадрате!

-- Пт янв 27, 2012 21:45:32 --

И в числителе 16!

[integral2009]

Ок, точно, исправлюсь)

$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{\rho^2+\frac{16}{\rho^4\sin^22\phi}}=\sqrt{2^{5/3}+\dfrac{2^4}{2^{10/3}}}=\sqrt{2^{5/3}+2^{2/3}}=\sqrt{3\cdot 2^{2/3}}=\sqrt[3]2\cdot \sqrt{3}$$

получилось теперь, однако! Спасибо!