Функциональное уравнение

[nnosipov]

Legioner93 в сообщении #537365 писал(а):

Если просят найти функцию, удовлетворяющую функциональному уравнению, причем способ задания ответа не указан, то ответ я могу дать в любой из 6 форм. В том числе и в виде функционального уравнения.

Только такой формальный ответ никому не нужен. Прежде чем задавать функцию функциональным (или дифференциальным) уравнением, нужно убедиться, что оно имеет решения. Вопрос о существовании решений тех или иных уравнений вполне содержательный и уж точно не может быть бессмысленным. В частности, вопрос о существовании функции $f(x)$, удовлетворяющей указанному в первом сообщении этой темы уравнению, очень даже интересен, а конкретный пример такой функции, если она существует, вряд ли будет тривиальным. Нечто подобное, кстати, недавно обсуждалось, и в аналогичной ситуации пример был построен.

[Legioner93]

nnosipov в сообщении #537382 писал(а):

Прежде чем задавать функцию функциональным (или дифференциальным) уравнением, нужно убедиться, что оно имеет решения.

Согласен. Существование нужно доказывать. В некоторых случаях и единственность.
Я лишь толкую о том, что в подавляющем большинстве случаев никак иначе функцию и не записать, кроме как через функ. уравнение.
Уважаемый kopern1k интересуется, как в общем случае найти функцию, удовлетворяющую данному функциональному уравнению. Ответ: никак.

[nnosipov]

Legioner93 в сообщении #537389 писал(а):

Уважаемый kopern1k интересуется, как в общем случае найти функцию, удовлетворяющую данному функциональному уравнению. Ответ: никак.

Ну, зачем сразу так пессимистично? Можно для начала посоветовать что-нибудь типа Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб. 1997 На первых порах и этого может быть достаточно.

[kopern1k]

Цитата:

В частности, вопрос о существовании функции $f(x)$, удовлетворяющей указанному в первом сообщении этой темы уравнению, очень даже интересен, а конкретный пример такой функции, если она существует, вряд ли будет тривиальным.

А разве $f(x)=1$ не подходит?

Цитата:

Уважаемый kopern1k интересуется, как в общем случае найти функцию, удовлетворяющую данному функциональному уравнению. Ответ: никак.

Я скорее имел ввиду какие-нибудь методы для нахождения конкретной функции. Не обязательно чтобы все эти методы полностью бы решали такого рода задачи.

[nnosipov]

kopern1k в сообщении #537431 писал(а):

А разве $f(x)=1$ не подходит?

Подходит, конечно. Но вдруг встанет вопрос о нетривиальном примере --- непостоянной функции. Вот здесь посмотрите, возможно, будет интересно topic54008.html

Из-за невнимательности показалось, что константа годится. Ан нет (см. далее).

[Shadow]

kopern1k в сообщении #537431 писал(а):

А разве $f(x)=1$ не подходит?

Проверьте например при x=2:
$x=2, f(x)=1, f(f(x))=1 \ne 2^2.1-2+1$

-- 11.02.2012, 14:27 --

kopern1k в сообщении #537151 писал(а):

А как ищут пример функции, удовлетворяющей данному соотношению?

http://dxdy.ru/topic53674.htmlВот здесь напр. задача найти функцию