Функциональное уравнение 2012

[Lunatik]

Если кратенько, то:

Найти функцию такую, в которой для всех действительных $x$ выполняется:
$f(x)+2012xf(1-x)=x^2-2x$

[Руст]

подставляем вместо х число 1-х и решаем систему из двух линейных уравнений относительно $f(x),f(1-x)$.

[Lunatik]

А можно на ответ глянуть... ход решения я знаю, но в ответе сомневаюсь...

[srm]

У меня получилось так: $f\left(x\right)=\frac{2010\cdot x-2012\cdot x^{3}+x^{2}}{1-2012^{2}x+2012^{2}x^{2}}$

[Lunatik]

Таак, хорошо, а вот что делать с иксами, которые обращают знаменатель в ноль?

[srm]

Lunatik, функция там будет неопределена, но предел левой части исходного соотношения будет равен пределу правой части.

[Lunatik]

А можно взять кусочно-заданную функцию, мол если при каком-то $x$ знаменатель обращается в ноль, то взять не вышенаписанную формулу, а какую-то другую?..

[MrDindows]

Пожалуй так и нужно сделать, ведь в условии "... для всех действительных ..."

[srm]

MrDindows, как Вы хотите определить функцию для $x = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2012} \sqrt{1012035}$?

[Sender]

srm в сообщении #525575 писал(а):

MrDindows, как Вы хотите определить функцию для $x = \frac{1}{2} \pm \frac{1}{2012} \sqrt{1012035}$?

Никак не получится, не существует такой функции f.

[Null]

Наоборот в одной из этих точек функцию можно определить как угодно, а во второй найти из данного соотношения.

[Sender]

Если не ошибаюсь, это соотношение не может выполняться в обеих точках одновременно.

[Lunatik]

А можно просто подставить корни в исходное уравнение?.. получится два уравнения с двумя неизвестными... и найти все значения от корней...

[Sender]

Так несовместные уравнения получаются, о чём и речь.