Представление производной в виде интеграла

[Nimza]

Есть функция

$$ f(t) = \int\limits_{ g(x) \leqslant t } \mu(dx) = \mu \{ x \mid g(x) \leqslant t \} $$

Как записать производную от неё с помощью интеграла от дифференциальной формы? Особенно интересно, если $\mu$ не абсолютно непрерывная.

В помощью дельта-функции её можно записать в виде

$$ f'(t) = \int \delta(t-g(x))\mu(dx)$$

Подскажите, как это будет в виде интеграла от дифференциальной формы? Вообще понимаю подвох (это же функционал). Корректнее было бы спросить, может ли такой функционал быть представлен интегралом от дифференциальной формы по $g(x) = t$?

[Nimza]

Я думаю, легче разобраться сперва со случаем абсолютно непрерывной меры $\mu$. В таком случае

$$ \frac{1}{\Delta t} (f(t+\Delta t) - f(t)) = \frac{1}{\Delta t} \int\limits_{ \{x \mid t < g(x) \leqslant t+\Delta t \} } \xi(x) dx $$

Будет ли данное выражение сходиться к

$$ \int\limits_{ \{x \mid g(x) = t \} } \xi(x) \omega $$

с некоторой дифференциальной формой $\omega$ на $\{ x \mid g(x) = t \}$?

[Nimza]

Ответ положительный, в качестве $\omega$ подойдёт любая такая форма, что $dg \wedge \omega = dx$, благодаря http://dxdy.ru/topic54747.html. Вопрос, что делать, если мера не абсолютно непрерывная. Тут должны возникать потоки (линейные непрерывные функционалы на пространстве дифференциальных форм).

[PAV]

Перенесено в общий раздел из учебного по просьбе автора