Равенство интегралов от дифференциальных форм

[Nimza]

Следует ли из $dg \wedge \omega_1 = dg \wedge \omega_2$, что

$$\int\limits_{ \{ x \mid g(x)=0 \} } \omega_1 = \int\limits_{ \{ x \mid g(x) = 0 \} } \omega_2$$

Функция $g(x) \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ хорошая, $dg$ не обнуляется нигде, $\omega_1$, $\omega_2$ -- формы степени $n-1$ в $\mathbb{R}^n$.

[alcoholist]

Конечно, это верно.

Ясно, что утверждение достаточно доказать для $\omega_2=0$.

Пусть $X$ -- вектор в $\mathbb{R}^n$. Ясно, что $dg\,X=0$ в том и только в том случае, когда вектор касается подмногообразия $g=0$.

Возьмем такой набор векторов $X_1,\ldots,X_n$, что первые $n-1$ касаются подмногообразия $g=0$. В этом случае

$$ 0=dg\wedge\omega(X_1,\ldots,X_n)=\pm dg(X_n)\omega(X_1,\ldots,X_{n-1}) $$

но $dg(X_n)\ne 0$, поэтому $\omega$ обращается в ноль на касательном пространстве к подмногообразию $g=0$, поэтому и интеграл равен нулю.

[Nimza]

Спасибо огромное, оооочень хорошо, что это так.

Только вот чтобы осознать доказательство мне не хватает подготовки, подскажите пожалуйста где можно прочитать необходимый минимум чтобы это понять? (Я этим не занимаюсь, но это некий переходный мостик в моей работе между двумя частями)

Я прочитал "Анализ на многообразиях" Спивака, и когда вижу $dg \wedge \omega (X_1,...,X_n)$ пытаюсь вычислить это через

$$ \frac{n!}{(n-1)!} Alt( dg \otimes \omega) (X_1,...,X_n) $$

Но видимо это можно как-то быстрее либо интуитивно проделывать. Ну и остальные проблемы у меня того же плана.

[alcoholist]

Посмотрите книжку А. Картана "Дифф. исчисление. Дифф. формы" -- третья глава

-- Сб фев 04, 2012 13:58:50 --

Nimza в сообщении #534904 писал(а):

пытаюсь вычислить это через

$$ \frac{n!}{(n-1)!} Alt( dg \otimes \omega) (X_1,...,X_n) $$

а здесь -- как ни альтернируй, все равно $dg$ ненулевое только на одной "альтернации"