Тождество Эрмита

[Whitaker]

Здравствуйте уважаемые друзья!
Начал решать задачки из книги "Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений" Гашкова-Чубарикова. Решил первые 4 задачи, но наткнулся на такую задачку, которую не получается решить. Помогите пожалуйста... нуждаюсь в Вашей помощи.
Доказать тождество (Эрмита):
$[x]+\Big[x+\dfrac{1}{n}\Big]+\Big[x+\dfrac{2}{n}\Big]+\dots+\Big[x+\dfrac{n-1}{n}\Big]=[nx]$

С уважением, Whitaker.

[Руст]

Представьте $x=[x]+\frac{k}{n}+y, 0\le y<\frac 1n$, тогда $[nx]=n[x]+k$, слева $n[x]+\sum_{i=1}^n\theta_i$, где $\theta_i=1$, если $k+n-i\ge n$, соответственно так же k (k членов справа в левой стороне).

[Whitaker]

Большое спасибо Руст!
Ваша подсказка помогла мне решить задачку
P.S. Я также нашел одно решение. Если кому-нибудь интересно, вот оно:
Обозначим через $f(x)$ разность между левой и правой частью, т.е.

$$f(x)=[x]+\Big[x+\dfrac{1}{n}\Big]+\Big[x+\dfrac{2}{n}\Big]+\dots+\Big[x+\dfrac{n-1}{n}\Big]-[nx]$$

Тогда:

$$f\Big(x+\dfrac{1}{n}\Big)=\Big[x+\dfrac{1}{n}\Big]+\Big[x+\dfrac{2}{n}\Big]+\Big[x+\dfrac{3}{n}\Big]+\dots+\Big[x+\dfrac{n-1}{n}\Big]+[x+1]-[nx+1]$$

Так как $[x+k]=[x]+k$ для любого $k\in \mathbb{Z}$, получаем, что:

$$f\Big(x+\dfrac{1}{n}\Big)=\Big[x+\dfrac{1}{n}\Big]+\Big[x+\dfrac{2}{n}\Big]+\Big[x+\dfrac{3}{n}\Big]+\dots+\Big[x+\dfrac{n-1}{n}\Big]+[x]-[nx]$$

Видно, что $f(x)=f\Big(x+\dfrac{1}{n}\Big)$, т.е. функция $f(x)$ является периодичной с периодом $\dfrac{1}{n}$. Достаточно изучить функцию на полуинтервале $[0, 1/n)$. При $x\in [0, 1/n)$ получается, что $f(x)=0$, значит и $f\Big(x+\dfrac{1}{n}\Big)=0$.
Получаем, что для любого $x\in \mathbb R$ получается, что $f(x)=0$. Тождество доказано.
Доказательство переведено из журнала "Mathematical miniatures"