Асимптотика интеграла

[Nimza]

Есть интеграл

$$ \int\limits_{ \mathbb{R}^d } \frac{e^{i\xi x} d\xi}{ \xi^2 + 2k \xi} $$

Я хочу получить на бесконечности его асипмотику по $x$, здесь $k \in \Sigma = \left\{ z \in \mathbb{C}^d \mid k^2 = 0 \right\}$ и под умножением понимается $xy = x_1 y_1 + x_2 y_2 + \ldots + x_n y_n$ (как скалярное произведение в $\mathbb{R}^d$, но не в $\mathbb{C}^d$).

До чего я дошёл с ноября.

1. Разбиваю интеграл на два, первый берётся по $\Re (\xi^2 + 2k\xi) \geqslant 0$. Оцениваю первый интеграл.
   
   1. Представляю
      
      $$\frac{1}{\xi^2+2k\xi} = \frac{1}{(\xi+k)^2} = \int\limits_{0}^{+\infty} e^{-t(\xi+k)^2} dt$$
   2. Меняю порядок интегрирования. Внутренний интеграл (по $\xi$) оцениваю интегралом по $\mathbb{R}^d$, коротый считается (интеграл Пуассона) (здесь я использую http://dxdy.ru/topic54290.html, специалисты по ТФНКП подсказали, что это верно).
   3. После этого считается внешний интеграл (в нём находится Гамма-функция). Таким образом получаю оценку для первого слагаемого в $O(|x|^{2-d})$.
2. Пытаюсь проделать то же со вторым слагаемым, но тут оценка сверху не проходит интегралом Пуассона.

Подскажите, что делать? Я уже замучался с этим интегралом. Пробовал применить методы перевала и стационарной фазы, не вышло.

(Оффтоп)

Я выкладывал две смежные темы на форум (которые могли бы помочь в решении) с ноября в раздел помощи. Но ничего толкового не вышло да и в том разделе такая задача быстро ушла вниз. Поэтому, думаю, ей место в этом разделе, тем более, что она слишком уж нетривиальна.

[Полосин]

В случае $d=2$ нужно уточнить, в каком смысле понимается интеграл. Попробуйте сделать замену $s=\xi_1x_1+\xi_2x_2$, $t=\xi_1x_2-\xi_2x_1$. В случае $d\ge3$ интеграл не существует.

[Nimza]

Спасибо. Интеграл понимается как обобщённая функция, а в случае $d=2$ есть ещё дополнительное требование $\Im{k} \neq 0$.