Экстремум, достаточные условия

[Yu_K]

mr.tumkan в сообщении #529435 писал(а):

Все производные третьего порядка одновременно должны равняться нулю или какая-то их комбинация?

Все.

$z_{xxx}dx^3+3z_{xxy}dx^2dy+3z_{xyy}dy^2dx+z_{yyy}dy^3$ - если - например $z_{yyy}\neq 0$ сразу видно, что при $dx=0$ и при любых остальных производных приращение функции будет разных знаков в зависимости от знака $dy$.

А для четвертого порядка потом придется смотреть какие-то особые подходы, чтоб показать знакоопределенность формы, может удастся показать, что все минимумы положительны, или что все максимумы отрицательны или еще как то хитрить http://elibrary.ru/item.asp?id=11638386.

[mr.tumkan]

Yu_K в сообщении #529537 писал(а):

]

Все.
$z_{xxx}dx^3+3z_{xxy}dx^2dy+3z_{xyy}dy^2dx+z_{yyy}dy^3$ - если - например $z_{yyy}\neq 0$ сразу видно, что при $dx=0$ и при любых остальных производных приращение функции будет разных знаков в зависимости от знака $dy$.

А для четвертого порядка потом придется смотреть какие-то особые подходы, чтоб показать знакоопределенность формы, может удастся показать, что все минимумы положительны, или что все максимумы отрицательны или еще как то хитрить http://elibrary.ru/item.asp?id=11638386.

Спасибо, понятно!
А почему, если провести аналогию для производных второго порядка...

$z_{xx}dx^2+2z_{xy}dxdy+z_{yy}dy^2$

Тут не обязательно, чтобы все производные 2 порядка были равны нулю?

Достаточно, чтобы $z_{xx}z_{yy}-z_{xy}^2=0$ для того, чтобы переходить к производным третьего порядка...

[ИСН]

Вы минимум видели когда-нибудь? Как он устроен? На что похож? Какие в нём производные?

[mr.tumkan]

ИСН в сообщении #529696 писал(а):

Вы минимум видели когда-нибудь? Как он устроен? На что похож? Какие в нём производные?

Что значит как устроен и на что похож?

Ну да, видел для эллиптического параболоида $z=x^2+y^2$

Рисунок



Из необходимых условий получаем, что в точке $(0;0)$ -- минимум

Достаточные условия

$z_{xx}=2>0$

$z_{yy}=2$

$z_{xy}=0$

$z_{xx}z_{yy}-z_{xy}^2=4>0$

=> min

Но тут не интересно, так как $z_{xx}z_{yy}-z_{xy}^2\ne 0$

(Оффтоп)

$d^2z=2dx^2+2dy^2$

[Yu_K]

mr.tumkan в сообщении #529864 писал(а):

$d^2z=2dx^2+2dy^2$

Вот в этом то вся соль минимума... а Вы его в offtop спрятали....

$z(0+dx,0+dy)=$ $z(0,0)+z_x(0,0)dx+z_y(0,0)dy+z_{xx}dx^2+2z_{xy}dxdy+z_{yy}dy^2+...=$$2dx^2+2dy^2dx$
- это означает, что при любом смещении из критической точки, приращение функции будет положительно (сумма двух удвоенных квадратов всегда больше нуля).

В принципе можно смотреть приращение вдоль любого луча выходящего из критической точки - обозначив $t=dy/dx$ или $t=dx/dy$ - тем самым заменив $Adx^2+Bdxdy+Cdy^2$ на $dx^2(At^2+Bt+C)$ и тогда все определяется корнями квадратного трехчлена.

Аналогично нужно действовать и в случае когда происходит вырождение вторых производных. Но там если старшие нечетные производные ненулевые - то экстремума не будет - подумайте про поведение функции $x^{2k+1}$ в нуле.