"Парадоксальное" логическое умозаключение

[Voltron]

Никто не подскажет относительно такого "парадоксального" умозаключения: A*(A->B)->(B->A)?

Напр.: Если у человека повышенная температура, он болен. У человека повышенная температура.Следовательно: если человек болен,то повышенная температура.

Верно ли такое следствие?

[svv]

Да, верно. Из истинности $A$ и $A\Rightarrow B$ следует истинность $B$, а из истинности $A$ и $B$ следует истинность $B\Rightarrow A$.

Парадоксальность, может быть, станет немного меньше, если заметить, что "если человек болен, то у него повышенная температура" мы получили не "вообще", а только в данном случае (в предположении, что у него-таки повышенная температура). Это логическое "если.. то.." не требует причинно-следственной связи, в этом смысле оно несколько формально. Оно следит лишь за тем, чтобы не было такого, что при $B\Rightarrow A$ высказывание $B$ было верно, а $A$ нет. Покуда это так (а у нас это так: верно и $A$, и $B$), $B\Rightarrow A$ выполняется.

[Профессор Снэйп]

Да, это формальная логика.

Импликация считается истинной, если у неё либо истинное заключение, либо ложная посылка. При этом в посылке и в заключении может говориться о совершенно разных вещах, никак не связанных между собой.

Например, истинным является высказывание "Если $2 + 2 = 5$, то на Марсе растут помидоры". Истинно просто потому, что $2+2 \neq 5$, а растёт ли при этом что-нибудь на Марсе - дело десятое

[Voltron]

svv:
Спасибо, я понял, что это утверждение (B->A) не общее ,т.е имеет смысл только в конкретном случае ,когда заведомо известен факт A (У человека повышенная температура), а также необходимо следует B по закону (A->B).
Да,в предложениях,выраженных на естественном языке,трудно выявить такие нюансы с обобщением.

Профессор Снэйп:
Тоесть между двумя сущностями,по логике,в праве установить некую двухстороннюю "метафизическую" (не причино-следственную) связь,если иного более не дано.Например, возможно считать, что стены моей комнаты держат экономику России,и наооборт.Все будет верно, пока не наступит противоречие:экономика рухнет,а стены - нет.Или стены сложатся - экономика будет процветать.

[svv]

Совершенно верно. Как раз хотел написать нечто подобное: если (и только если) вдруг обнаружится, что $2+ 2=5$, Профессору Снэйпу придется для сохранения репутации лететь на Марс и проверять, как там его помидоры.

[arseniiv]

(Оффтоп)

Так вот почему он красный!!

[AndrewN]

Voltron в сообщении #527815 писал(а):

Никто не подскажет относительно такого "парадоксального" умозаключения: A*(A->B)->(B->A)?

Напр.: Если у человека повышенная температура, он болен. У человека повышенная температура.Следовательно: если человек болен,то повышенная температура.

Верно ли такое следствие?

Не всегда. Верно тогда и только тогда, когда А необходимое и достаточное условие В. Например, в вышеприведённом примере А только необходимое условие.

В сети (и библиотеках) полно учебников по мат логике. Парадоксов значительно меньше...

--

[AGu]

AndrewN в сообщении #528016 писал(а):

Voltron в сообщении #527815 писал(а):

A*(A->B)->(B->A)
Верно ли такое следствие?

Не всегда.

Всегда, всегда.
Истинное высказывание следует из чего угодно: если A верно, то B->A верно (для любого B).
Стало быть, импликация B->A вытекает из A и тем более из A*(A->B).

[AndrewN]

AGu в сообщении #528053 писал(а):

AndrewN в сообщении #528016 писал(а):

Voltron в сообщении #527815 писал(а):

A*(A->B)->(B->A)
Верно ли такое следствие?

Не всегда.

Всегда, всегда.
Истинное высказывание следует из чего угодно: если A верно, то B->A верно (для любого B).
Стало быть, импликация B->A вытекает из A и тем более из A*(A->B).

Не передёргивайте, а то мы как в сказке будем: "сказка ложь, да в ней намёк..."
То, что A*(A->B)->(B->A) тождественно истинная формула (см. p.s.) - я догадался, но original poster - то что спрашивал:

Voltron в сообщении #527815 писал(а):

Напр.: Если у человека повышенная температура, он болен. У человека повышенная температура.Следовательно: если человек болен,то повышенная температура.
Верно ли такое следствие?

Как я понял, о.р. интересовался истинностью B->A, а эта формула (в логике высказываний) запросто может оказаться ложной, несмотря на исходную тождественно истинную формулу.
Я обмолвился про необходимость и достаточность, так как исходная формулировка предполагает использование предикативной логики, поскольку о.р. использовал силлогизм.
--
P.S. Вообще-то тождественно истинна (A*(A->B))->(B->A)
И все остальные шишки по формулировкам пусть лягут на о.р.
P.P.S. "verum ex quodlibet", так сказать...

[Voltron]

Неа...
Меня сугубо интересовало правильность вывода следствия B->A из A*(A->B).Ее смысловая интерпретация и область действия.

[AndrewN]

Voltron в сообщении #528221 писал(а):

Неа...
Меня сугубо интересовало правильность вывода следствия B->A из A*(A->B).Ее смысловая интерпретация и область действия.

В логике высказываний смыслов всего два: истинно и ложно. Отсюда, кстати, следует парадокс: "это высказывание ложно". Он неразрешим в логике высказываний. В этой логике ваша формула с моей поправкой тождественно истинна, но при этом значение подформулы "В имплицирует А" может быть как истинным так и ложным, в зависимости от значений истинности переменных А, В. И больше никаких смыслов в этой логике нет.

Далее, переходя к утверждениям про болезни и температуры, то в здравом уме они к логике высказаваний не сводятся, иначе возникнут парадоксы. Например, человек болен, а температура нормальная (не будем вдаваться в подробности анамнеза, Окау?). Такие утверждения доказываются используя несколько расширенный формальный аппарат. И нового тут ничего нет, ещё древнеримские греки кричали "нон секветур" по случаю...

Посмотрите научно-популярную книжку Л.Калужнин, Что такое математическая логика, М, 1964г. и определите к какому типу A,E,O,I относится ваше утверждение о болезни и температуре. После этого установите истинность логического вывода.
--
E.g.:
"Если у человека повышенная температура, он болен. У человека повышенная температура. Следовательно: если человек болен, то повышенная температура." - не следует.
"Если у человека повышенная температура, он болен. У человека повышенная температура. Следовательно: человек болен." - истинно, по правилу логического следования.
"Если у человека повышенная температура, он болен. И наоборот: если человек болен, то повышенная температура." - ложно, так как условие болезни не является необходимым и достаточным для повышенной температуры.

[arseniiv]

Ой блин. Кто пустил гуманитария в эту тему?

Всё с этим высказыванием в порядке.

В алгебре высказываний формула $A \wedge (A \to B) \to (B \to A)$ общезначима; это эквивалентно тому, что она выводима в исчислении высказываний (и это тоже действительно так и есть). Всё. Два конкретных способа вывода тут предоставлены участниками svv и AGu.

И если вам будет мало, вот уже конкретная с алгебраической стороны цепь эквивалентных формул, заканчивающаяся тавтологией:

$A \wedge (A \to B) \to (B \to A) \sim \neg (A \wedge (\neg A \vee B)) \vee \neg B \vee A \sim$
$\sim \neg A \vee A \wedge \neg B \vee \neg B \vee A \sim (\neg A \vee A) \vee \ldots \sim T \vee \ldots \sim T$.

Совсем неверующим таблицу истинности можно ещё нарисовать.

[AndrewN]

arseniiv в сообщении #528406 писал(а):

таблицу истинности можно ещё нарисовать.

Нарисуйте две таблицы, для

(A*(A->B))->(B->A) (1)

и

B->A (2)

Из истинности (1) не следует истинность (2).

[Toucan]

arseniiv в сообщении #528406 писал(а):

Ой блин. Кто пустил гуманитария в эту тему?

arseniiv, хочу обратить Ваше внимание на то, что никаких ограничений на участие специалистов разных специальностей в обсуждении тех или иных тем у нас на форуме нет и не предвидится.

За "Ой блин" - замечание.

[AndrewN]

Toucan в сообщении #528433 писал(а):

замечание

да это же шутка была! :)