2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задача-красавица с международки
Сообщение10.01.2012, 11:07 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Доказать, что для любых натуральных $ n $ и $ m $ найдутся $ n $ последовательных натуральных чисел, каждое из которых имеет не менее $ m $ попарно различных простых делителей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача-красавица с международки
Сообщение10.01.2012, 12:04 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Разве это не следует из Китайской теоремы об остатках?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача-красавица с международки
Сообщение10.01.2012, 13:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/08
10844
Crna Gora
Конечно, следует! Расписывать надо?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача-красавица с международки
Сообщение10.01.2012, 13:35 
Заслуженный участник


02/08/10
629
Та тут и расписывать нечего...
Берём $nm$ простых чисел, и по этой теореме найдётся натуральное число, что делится на первые $m$ простых, даёт в остатке $-1$ на следующие $m$, $-2$ на следующие, и тд...
Не уж-то такое на межнаре дали?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача-красавица с международки
Сообщение10.01.2012, 13:56 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
MrDindows в сообщении #525226 писал(а):
Та тут и расписывать нечего...
Берём $nm$ простых чисел, и по этой теореме найдётся натуральное число, что делится на первые $m$ простых, даёт в остатке $-1$ на следующие $m$, $-2$ на следующие, и тд...
Не уж-то такое на межнаре дали?

На межнаре дали даже проще - частный случай m=2 :wink:
http://www.imo-official.org/problems.aspx
(1989, задача 5)

 Профиль  
                  
 
 Составные числа
Сообщение11.01.2012, 09:26 
Заслуженный участник


03/12/07
369
Украина
Существует ли такое натуральное число $x$, что для всех натуральных $n$ числа $x\mult 2^n+1$ - составные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача-красавица с международки
Сообщение11.01.2012, 09:37 
Заслуженный участник


09/02/06
4383
Москва
бесконечно много. Кажется они имеют даже специальное название (то ли числа Серпинского).

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача-красавица с международки
Сообщение11.01.2012, 23:40 
Заслуженный участник


03/12/07
369
Украина
Руст в сообщении #525561 писал(а):
бесконечно много. Кажется они имеют даже специальное название (то ли числа Серпинского).
А в Китае на отборочных соревнованиях (2007, задача 3.3)
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 36d4d6a541
предлагают найти числа Серпинского
http://ru.wikipedia.org/wiki/Числа_Серпинского

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача-красавица с международки
Сообщение12.01.2012, 07:22 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Ну предлагают не найти, а "всего лишь" доказать их существование...

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача-красавица с международки
Сообщение12.01.2012, 08:03 


23/01/07
3447
Новосибирск

(Оффтоп)

У меня вопрос немного не по теме...
В статье про числа Серпинского в Википедии дословно сказано:
Цитата:
Например, если рассмотреть последовательность $3\cdot 2^{n}+1$, то в ней регулярно будут встречаться простые числа...

Меня интересует вопрос:
Слово "регулярно" применено здесь для "красного словца" (типа, что такие числа существуют и их много) или это говорит о доказанности того, что число простых данного вида бесконечно? Буду благодарен за любой ответ по существу моего вопроса или близко к "по существу", или хотя бы отдаленно к "по существу"!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача-красавица с международки
Сообщение12.01.2012, 09:20 
Заслуженный участник


08/04/08
8557

(Оффтоп)

Батороев в сообщении #525991 писал(а):
Слово "регулярно" применено здесь для "красного словца" (типа, что такие числа существуют и их много) или это говорит о доказанности того, что число простых данного вида бесконечно? Буду благодарен за любой ответ по существу моего вопроса или близко к "по существу", или хотя бы отдаленно к "по существу"!
Для красного словца.
Доказана лишь бесконечность простых в арифметических прогрессиях.
Во всех (вот вообще во всех) остальных последовательностях либо относительно просто доказываем, что простых конечно, либо (если их там бесконечное число, что встречается часто) - ограничиваемся гипотезой и догадками.

Кстати, интересно было бы собрать из гипотез о простых числах, содержащихся в "экспоненциальных" последовательностях от одной переменной какую-то одну общую гипотезу. Для многочленов она есть - это гипотеза Буняковского. А вот например, объединить все гипотезы хотя бы о всех последовательностях $A a^n \pm B b^n$ в одну - было бы интересно (тут только одно "неестественное" исключение - число простых Ферма считается конечным)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача-красавица с международки
Сообщение13.01.2012, 10:21 


23/01/07
3447
Новосибирск

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #526000 писал(а):
Для красного словца.
Доказана лишь бесконечность простых в арифметических прогрессиях.
Во всех (вот вообще во всех) остальных последовательностях либо относительно просто доказываем, что простых конечно, либо (если их там бесконечное число, что встречается часто) - ограничиваемся гипотезой и догадками.

Кстати, интересно было бы собрать из гипотез о простых числах, содержащихся в "экспоненциальных" последовательностях от одной переменной какую-то одну общую гипотезу. Для многочленов она есть - это гипотеза Буняковского. А вот например, объединить все гипотезы хотя бы о всех последовательностях $A a^n \pm B b^n$ в одну - было бы интересно (тут только одно "неестественное" исключение - число простых Ферма считается конечным)

Жаль! Все жду, когда мое нестрогое док-во ВТФ станет строгим. :?
Слова "считается конечным" в отношении простых Ферма, похоже, Вы тоже применили для "красного словца". :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача-красавица с международки
Сообщение13.01.2012, 10:40 
Заслуженный участник


08/04/08
8557

(Оффтоп)

Батороев в сообщении #526334 писал(а):
Слова "считается конечным" в отношении простых Ферма, похоже, Вы тоже применили для "красного словца". :-)
Ну да :-) Хотя "считается" $\neq$ "доказано"

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group