Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)

[Praded]

$n! - 3n + 28 = k^2\Leftrightarrow n! - 3n +3=k^2-25\Leftrightarrow3(n-1)\left[\dfrac{n!}{3(n-1)}-1\right]=\\=(k-5)(k+5)=t(t+10)$

[nnosipov]

Praded, а дальше-то что делать?

Вот ещё несколько задач из этой книги.

1. Найдите натуральные числа $m$ и $n$, такие, что $n^3+n$ и $n^2+m$ делятся на $n^2+m^2$.
2. Сумма делителей числа $n$ равна $(3^{n+1}-1)/2$. Найдите это число.
3. Решите в целых числах уравнение $x^4-7y^4=16$.
4. Решите в целых числах уравнение $3x^4-4y^4=243$.

Задача 1 выглядит глупой из-за неравенства $n^2+m \leqslant n^2+m^2$. К задача 2 дан странный ответ --- $3^n$. Задачи 3 и 4 решаются, на мой взгляд, слишком сложно для ЕГЭ.

[Батороев]

nnosipov в сообщении #524487 писал(а):

К задача 2 дан странный ответ --- $3^n$.

А в чем странность? В сумму делителей, насколько я помню, входит и само число (в отличие от суммы собственных делителей):

$\dfrac {3^{n+1}-1}{2}=\dfrac{(3-1)(3^n+3^{n-1}+...+3+1)}{2}=3^n+3^{n-1}+...+3+1$

[nnosipov]

Ещё раз условие задачи: Сумма делителей числа $n$ равна $(3^{n+1}-1)/2$. Найдите это число. То есть, как я понимаю, требуется найти число $n$. И вот ответ: $3^n$. Можно думать, что в условии опечатка и на самом деле задача звучит так: Сумма делителей числа $m$ равна $(3^{n+1}-1)/2$. Найдите это число. В этом случае при любом данном натуральном $n$ годится $m=3^n$. Но вопрос о существовании других значений $m$ представляется довольно сложным, не для ЕГЭ уж точно.

[Батороев]

Виноват! "Слона то я и не приметил".

[ruzmaz]

Я, естественно, уже проделывал преобразования, вроде тех, что описал Praded. Вопрос только, куда двигаться дальше?

[blondinka.ua]

Поскольку все равно никто не может решить, предлагаю изменить условие: перед факториалом поставить множитель 2, а число 28 заменить на 17. Тогда задача станет как раз по школьной программе, что и нужно для ЕГЭ. Эта, по-моему, слишком сложна для данного мероприятия, так как действительно, стандартными методами она не решается.

[Shadow]

$2n!-1=k^2+3n-18?$ По модулю 3? Но тогда не будет С6 (если С6 означает очень трудная)

[blondinka.ua]

Shadow, ну а по исходной задаче можете в нужное русло направить? Интересно же. Хотя я все же думаю, что если несколько человек за пару дней не решили, то для экзамена сложновато.

[Shadow]

(Оффтоп)

Не могу. Иначе написал бы. И беда не в том, что я не могу решить (такое очеь, очень часто бывает), а в том, что пока никто на форуме удовлетворительное доказательство не привел. Прелюбопытен посмотреть на авторское решение.

[Sonic86]

(Оффтоп)

Shadow в сообщении #525129 писал(а):

Прелюбопытен посмотреть на авторское решение.

Да его скорее всего нету Уравнение смахивает на гипотезу Брокарда

[Keter]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #525151 писал(а):

Shadow в сообщении #525129 писал(а):

Прелюбопытен посмотреть на авторское решение.

Да его скорее всего нету Уравнение смахивает на гипотезу Брокарда

Наверное имели в виду Брокара.

[svv]

Брокар vs Брокард: post522958.html#p522958

[Keter]

Буду знать. Извините за неучтенность того факта, что Фамилия иностранная и читать(да и писать) её можно по разному.

[svv]

Нет, Вы-то как раз правильно.
-rd -- это по-французски.

(Оффтоп)

Pierre Richard et Gérard Depardieu, а по-русски?