2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)
Сообщение08.01.2012, 09:35 
$n! - 3n + 28 = k^2\Leftrightarrow n! - 3n +3=k^2-25\Leftrightarrow3(n-1)\left[\dfrac{n!}{3(n-1)}-1\right]=\\=(k-5)(k+5)=t(t+10)$

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)
Сообщение08.01.2012, 11:02 
Praded, а дальше-то что делать?

Вот ещё несколько задач из этой книги.

1. Найдите натуральные числа $m$ и $n$, такие, что $n^3+n$ и $n^2+m$ делятся на $n^2+m^2$.
2. Сумма делителей числа $n$ равна $(3^{n+1}-1)/2$. Найдите это число.
3. Решите в целых числах уравнение $x^4-7y^4=16$.
4. Решите в целых числах уравнение $3x^4-4y^4=243$.

Задача 1 выглядит глупой из-за неравенства $n^2+m \leqslant n^2+m^2$. К задача 2 дан странный ответ --- $3^n$. Задачи 3 и 4 решаются, на мой взгляд, слишком сложно для ЕГЭ.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)
Сообщение08.01.2012, 14:09 
nnosipov в сообщении #524487 писал(а):
К задача 2 дан странный ответ --- $3^n$.

А в чем странность? В сумму делителей, насколько я помню, входит и само число (в отличие от суммы собственных делителей):

$\dfrac {3^{n+1}-1}{2}=\dfrac{(3-1)(3^n+3^{n-1}+...+3+1)}{2}=3^n+3^{n-1}+...+3+1$

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)
Сообщение08.01.2012, 14:55 
Ещё раз условие задачи: Сумма делителей числа $n$ равна $(3^{n+1}-1)/2$. Найдите это число. То есть, как я понимаю, требуется найти число $n$. И вот ответ: $3^n$. Можно думать, что в условии опечатка и на самом деле задача звучит так: Сумма делителей числа $m$ равна $(3^{n+1}-1)/2$. Найдите это число. В этом случае при любом данном натуральном $n$ годится $m=3^n$. Но вопрос о существовании других значений $m$ представляется довольно сложным, не для ЕГЭ уж точно.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)
Сообщение08.01.2012, 18:27 
Виноват! "Слона то я и не приметил". :oops:

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)
Сообщение08.01.2012, 23:21 
Я, естественно, уже проделывал преобразования, вроде тех, что описал Praded. Вопрос только, куда двигаться дальше?

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)
Сообщение09.01.2012, 09:34 
Поскольку все равно никто не может решить, предлагаю изменить условие: перед факториалом поставить множитель 2, а число 28 заменить на 17. Тогда задача станет как раз по школьной программе, что и нужно для ЕГЭ. Эта, по-моему, слишком сложна для данного мероприятия, так как действительно, стандартными методами она не решается.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)
Сообщение09.01.2012, 12:18 
$2n!-1=k^2+3n-18?$ По модулю 3? Но тогда не будет С6 (если С6 означает очень трудная)

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)
Сообщение10.01.2012, 00:31 
Shadow, ну а по исходной задаче можете в нужное русло направить? Интересно же. Хотя я все же думаю, что если несколько человек за пару дней не решили, то для экзамена сложновато.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)
Сообщение10.01.2012, 01:46 

(Оффтоп)

Не могу. Иначе написал бы. И беда не в том, что я не могу решить (такое очеь, очень часто бывает), а в том, что пока никто на форуме удовлетворительное доказательство не привел. Прелюбопытен посмотреть на авторское решение.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)
Сообщение10.01.2012, 06:37 

(Оффтоп)

Shadow в сообщении #525129 писал(а):
Прелюбопытен посмотреть на авторское решение.
Да его скорее всего нету :evil: Уравнение смахивает на гипотезу Брокарда

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)
Сообщение10.01.2012, 22:46 

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #525151 писал(а):
Shadow в сообщении #525129 писал(а):
Прелюбопытен посмотреть на авторское решение.
Да его скорее всего нету :evil: Уравнение смахивает на гипотезу Брокарда


Наверное имели в виду Брокара.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)
Сообщение10.01.2012, 22:55 
Аватара пользователя
Брокар vs Брокард: post522958.html#p522958

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)
Сообщение10.01.2012, 23:08 
Буду знать. Извините за неучтенность того факта, что Фамилия иностранная и читать(да и писать) её можно по разному.

 
 
 
 Re: Решить уравнение в натуральных числах (C6 из ЕГЭ)
Сообщение10.01.2012, 23:11 
Аватара пользователя
Нет, Вы-то как раз правильно. :D
-rd -- это по-французски.

(Оффтоп)

Pierre Richard et Gérard Depardieu, а по-русски?

 
 
 [ Сообщений: 34 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group