Вопрос по полугруппам

[Zhestkoff]

Простите за примитивные вопросы , но теорию алгебр начали только изучать, тем более самостоятельно...Итак задание
На множестве Т= {a,b,c,d,e} задать операцию w таким образом, что бы алгебра была полугруппой.
Мои рассуждения :
Во-первых, это значит указать множество, во-вторых, задать на этом множестве бинарную операцию и, в-третьих, убедиться что заданная операция ассоциативна(для меня это означает (a+b)+c=a +(b+c))
Что я делаю:
пишем так ({a,b,c,d,e},+), где для любых a,b,c,d,e из Т,(a+b)+c=a +(b+c) и (с+d)+e=c+(d+e)
Теперь товарищи светила науки, постарайтесь объяснить русским языком понятным, для меня электрика с завода, что я тут наворотил... повторяюсь еще раз изучать начал неделю назад...Я вроде и понимаю что-то а вот написать это не могу

-- 04.01.2012, 17:52 --

И еще нужно там выписывать бинарные отношения типа <a,b> <b,c> ,<C,d>?...

[Sonic86]

Здравствуйте! Щас попробую объяснить
Для начала: формулы оформляйте, как написано здесь: topic183.html Это несложно, но текст становится читабельнее.

Zhestkoff в сообщении #523008 писал(а):

задать операцию w

Zhestkoff в сообщении #523008 писал(а):

операция ассоциативна(для меня это означает (a+b)+c=a +(b+c))

Давайте будем обозначать операцию символом умножения - $a \cdot b$. Знак $+$ обычно употребляется, когда операция коммутативна (т.е. когда $a+b=b+a$), а умножение может быть некоммутативно.

Zhestkoff в сообщении #523008 писал(а):

Во-первых, это значит указать множество

Нет, множество уже указано в общем виде, Вам надо лишь задать операцию (например, таблицей умножения: $a \cdot b=c$ и т.п.)

Zhestkoff в сообщении #523008 писал(а):

в-третьих, убедиться что заданная операция ассоциативна(для меня это означает (a+b)+c=a +(b+c))

Дело в том, что произвольная операция неассоциативна. Вам надо операцию подобрать так, чтобы полугруппа была ассоциативна. Вообще говоря, это сделать сложновато: если полугруппу задавать таблицей умножения, то даже одно неправильно заданное соотношение в таблице умножения может испортить всю ассоциативность. Тем более, что полугруппа - не самый обычный объект. Хотя можно придумать и очень простую полугруппу.
Вам лучше взять более обычные объекты - группы или даже абелевы группы, если Вы с ними знакомы. Если нет, тогда хуже - трудновато дать подсказку. Если не знаете - попробуйте построить полугруппу не для множества $\{ a;b;c;d;e\}$, т.к. оно довольно большое, а сначала для множества $\{ a;b\}$, потом $\{ a;b;c\}$. Тогда Вы можете заметить несколько простых полугрупп.
Что Вы еще проходили? (чтоб я мог подсказать что-то известное)

[JMH]

Хм. А требуемая структура должна быть именно полугруппой и ни вкоем случае не группой или, упаси боже, полем? А то можно было бы взять $\mathbb{Z}_5$ и определить биекцию...

[Zhestkoff]

Вобщем группы и абелевы группы мы вскользь проходили, представление какое-то есть, но все же вопрос номер 1

Sonic86 в сообщении #523045 писал(а):

попробуйте построить полугруппу

Я не представляю вообще что значит построить...Взять написать по вертикали и по горизонтали $0 a b с$ и потом просто перемножить эти элементы? ну типа таблицы Келли? но тогда мне не понятно что делать с результатом... Вобщем я не понимаю к какому виду я должен придти...
Дело еще осложняется тем что с литературой беда, есть книга на украинском, перечитав ее мне легче не стало...так что полагаюсь на записи в конспекте и интернет, в частности ваши подсказки...

[bot]

Ну давайте дам несколько простых примеров.
1) $T$ - произвольное множество и $t$ - некоторый его элемент. Определим бинарную операцию $x\cdot y$, полагая $x\cdot y=t$ для любых $x,y\in T$
2) $T$ - множество действительных чисел (или любое в нём подмножество). Определим две бинарные операции $x\vee y$ и $x\wedge y$, полагая $x\vee y=\max\{x, y\}, x\wedge y=\min\{x, y\}$
Проверьте, что все три операции ассоциативны.
3) $T$ - множество элементов, записанных в определённом порядке, будем называть их буквами. Раньше стоящую букву будем считать меньшей позже стоящей. Определите по типу предыдущего примера две ассоциативные операции на этом множестве.

[Zhestkoff]

bot в сообщении #523360 писал(а):

Определите по типу предыдущего примера две ассоциативные операции на этом множестве.

Или вы хотите что б я переписал ваш пример,только с буквами, или я вообще не понимаю какие операции я должен определить....Умножение и сложение?ребята простите но действительно тяжело дается...

[arseniiv]

Только одну операцию. Выберете её сначала по типу первой, потом по типу второй, потом по типу третьей.

Да: наверно, нужно написать таблицу Кэли. Мне кажется, это довольно удобный способ описать операцию на маленьком множестве.

Например, если мы решили, что $a < b < c < d < e$ (алфавитный порядок), то таблица Кэли для операции $\vee$ будет такая:

\begin{array}{|c|ccccc|} \hline & a & b & c & d & e \\ \hline a & a & b & c & d & e \\ b & b & b & c & d & e \\ c & c & c & c & d & e \\ d & d & d & d & d & e \\ e & e & e & e & e & e \\ \hline \end{array}

[Zhestkoff]

Я так понимаю arseniiv выложил мне уже половину решения, и я так понимаю мы сначала должны задать максимальный и минимальный элементы, а потом с помощью талицы Келли складывать или перемножать элементы, в зависимости от операции которую задали, но теперь как мне доказать что эта таблица которую мы получили является полугруппой?мы покажем просто что $a\vee(b\vee c)$=$(a\vee b)\vee c$ так?

[Sonic86]

Zhestkoff в сообщении #523399 писал(а):

мы покажем просто что $a\vee(b\vee c)$=$(a\vee b)\vee c$ так?

Да, попробуйте это доказать (это для данной операции интуитивно очень понятно)

[arseniiv]

Zhestkoff в сообщении #523399 писал(а):

с помощью талицы Келли

С помощью таблицы вам придётся тогда проверить 125 случаев (каждую тройку элементов). Это не очень весело, лучше проверяйте по определению! Т. е. $(a \vee b) \vee c = \max\{ \max\{a, b\}, c\} = \ldots$, а потом так же раскройте $a \vee (b \vee c)$.

А проще всего проверить ассоциативность для первой предложенной botом операции.

Zhestkoff в сообщении #523399 писал(а):

мы сначала должны задать максимальный и минимальный элементы

Вот только порядок задаётся не максимальным и минимальным элементом! Их для определения недостаточно. Должно быть определено соответствующее отношение $<$ (или $>$) на данном множестве. Хотя порядок можно задать и «просто» перечислением (например, $d, a, c, b, e$) элементов: этим мы определяем взаимно однозначную функцию из $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ в $\{a, b, c, d, e\}$, которая сохраняет порядок, уже существующий на натуральных числах.
Но это всё, вообще говоря, не нужно. Для примера алфавитного порядка хватит с головой.

[Zhestkoff]

$\max\{a,b\}=b\$ так ?а теперь $\max\{b,c\}=c\$. правильно?ну вторая часть понятно как доказывается и она тоже будет равняться С...И так я доказал что она является полугруппой? да и еще откуда 125 случаев? может 25?

[bot]

Нет, Вы доказали $(xy)z=x(yz)$ для одной тройки $x=a, y=b, z=c$, а всего таких троек 125. Ясно, что перебирать по одной, хотя и возможно, но бесперспективно.
Начните лучше с первого, чтобы освоиться и вот ещё один такой же простенький:
На любом множестве $T$ (конечном или бесконечном без разницы) полагаем $xy=x$ при любых $x, y\in T$

[arseniiv]

Zhestkoff в сообщении #523419 писал(а):

$\max\{a,b\}=b\$ так ?а теперь $\max\{b,c\}=c\$. правильно?ну вторая часть понятно как доказывается и она тоже будет равняться С...И так я доказал что она является полугруппой?

Неудачно я обозначил; имел в виду абстрактные $a, b, c$. Пусть лучше будут $p, q, r$.

$(p \vee q) \vee r = \max\{ \max\{p, q\}, r\} = \max\{p, q, r\}$ (это видно и так, хотя для точности можно проверить шесть случаев $p < q < r$, $p < r < q$, $q < p < r$, $q < r < p$, $r < p < q$ и $r < q < p$, в результате получается правая часть). Так же и с $p \vee (q \vee r)$. Ну и раз они в общем случае получились равны одному и тому же…

Zhestkoff в сообщении #523419 писал(а):

да и еще откуда 125 случаев? может 25?

В $p(qr) = (pq)r$ «участвуют» три элемента. Так что надо проверить $5^3$ случаев.

[Zhestkoff]

bot в сообщении #523427 писал(а):

бесперспективно.
Начните лучше с первого

Вопрос номер 1 - с чего с первого?
вопрос номер 2-

arseniiv в сообщении #523435 писал(а):

. Пусть лучше будут .

какая разница как я их обзову, мои размышления верны? или нет?сравнивая их между собой я просто смотрю на их сумму из таблицы ?
Утверждение 1- почему 125 случаев понял(спасибо)..

[bot]

Zhestkoff в сообщении #523441 писал(а):

Вопрос номер 1 - с чего с первого

Я Вам три примера дал 1), 2) и 3). Вот с 1) и начните - он проще некуда.

А пусть лучше будут $p,q,r$ - это переменные, на место которых можно подставлять произвольным образом $a, b, c, d, e$. Вот arseniiv неудачно использовал для обозначения переменных символы $a, b, c\in T$. Всем из контекста ясно, о чём он говорит, а начинающих это сбивает с толку.