Вычислить сумму ряда

[Ramos]

Привет всем участникам форума!
Помогите решить такую задачу. Нужно вычислить сумму такого ряда:
$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{4}+\dfrac{3}{8}+\dfrac{4}{16}+\dots$
Я делаю разные преобразования, но у меня не получается

[Whitaker]

Задача не такая уж трудная ...
Напишите общий член ряда

[Ramos]

$\sum \limits_{n=1}^{\infty} \dfrac{n}{2^n}$

[Whitaker]

Ооо! Какой красивый ряд получился
Обозначим нашу искомую сумму через $S$, т.е. $S=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2^n}$

-- Ср янв 04, 2012 16:11:32 --

Теперь Вы немного подумайте как выразить $S$ через само $S$

[Ramos]

Whitaker в сообщении #522917 писал(а):

Теперь Вы немного подумайте как выразить $S$ через само $S$

Как это?

[Whitaker]

Ну например: $S=a+bS$

[Ramos]

Я делаю всякие финты, но всё коту под хвост

[svv]

Может быть, вопрос станет немного яснее, если проделать "сдвиг индекса на 1". Сначала подставим $n=k+1$:
$S=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2^n}=\sum \limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{k+1}{2^{k+1}}$
Затем переименуем $k$ обратно в $n$:
$S=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{n+1}{2^{n+1}}$
Легко видеть, что это тот же исходный ряд, только его члены пронумерованы не с $1$, а с $0$.
Ну и, наконец, подумаем, как этот ряд выразить через исходный. (Whitaker подсказывает: $S=a+bS$)

[Whitaker]

Ну смотрите:
$S=\dfrac{1}{2}+\Big(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^2}\Big)+\Big(\dfrac{1}{2^3}+\dfrac{2}{2^3}\Big)+\Big(\dfrac{1}{2^4}+\dfrac{3}{2^4}\Big)+\Big(\dfrac{1}{2^5}+\dfrac{4}{2^5}\Big)+\dots=\Big(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dots\Big)+\Big(\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{2}{2^3}+\dfrac{3}{2^4}+\dots\Big);$
Я Вам уже почти всё написал. Вам всего лишь нужно сделать кое-что со второй скобкой и получается то, что я говорю

[Ramos]

$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+\dots=\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$;
Получается, что $S=1+\dfrac{S}{2}$, т.е. $S=2$

[Whitaker]

Совершенно верно!
Кстати, будет полезно если Вы поймёте то, что написал уважаемый svv. Да и вообще задачи такого рода (не все конечно) хорошо решаются через степенные ряды Если Вы знаете, что такое, что мы бы с Вами могли это обсудить здесь.

[Ramos]

Ну степенные ряды мы недавно проходили. Так, что представление имею

[Whitaker]

Как мы знаем:
$1+t+t^2+t^3+\dots=\dfrac{1}{1-t}$
Но не нужно забывать, что это верно при $-1<t<1$. Это получается из теоремы Коши-Адамара.
Надеюсь то, что я пишу Вы понимаете?

[Ramos]

Всё понял за исключением теоремы Коши-Адамарда.

[svv]

А вот с общим членом (но это та же идея Whitakerа). Начинаем с того "сдвинутого" ряда и приводим его к исходному:
$S=\sum \limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{n+1}{2^{n+1}}=\dfrac 1 2 \sum \limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{n+1}{2^n}=\dfrac 1 2\left(\sum \limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{n}{2^n}+\sum \limits_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{2^n} \right)=\dfrac 1 2(S+2)$

В $\sum \limits_{n=0}^{\infty}\frac{n}{2^n}$ меняется от нуля, а не от единицы, как в исходном, но это не имеет значения, так как член $\frac n{2^n}$ при $n=0$ все равно нулевой.