2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метод uvw
Сообщение02.01.2012, 21:05 


29/06/11
7
Узнал, что сравнительно недавно появился так называемый метод uvw, суть которого сводится к замене переменных, а далее к рассмотрению частных случаев. Он меня заинтриговал, но у меня не получилось найти информацию по нему в книгах (что неудивительно в связи с его новизной) и в интернете (за исключением небольшой статьи на английском, которая хоть и была полезной, но с учетом моего знания английского и качества переводчиков, не была способна ответить на все мои вопросы). В связи с этим прошу ответить на следующие вопросы:
1. Как я понял, мы фиксируем две переменных из u,v,w и двигаем третью. Почему (хотя это немного понятно) и до каких пор (а это уже менее понятно) мы можем так делать?
2. Какую переменную двигать удобнее всего? И можно ли всегда обходиться только одной (т.е., например, я вижу, что двигать w у меня не получится, тогда и вообще двигать ничего буду, так как это бессмысленно)
3. Может ли так оказаться, что простое неравенство этим методом вообще не решается?
4. Как быстро доказать, что максимум/минимум в рамках задачи достигается при конкретном значении одной из переменных? (например, если мне потребуется написать полное решение олимпиадной задачи)

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод uvw
Сообщение06.01.2012, 19:16 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
M.Konst в сообщении #522386 писал(а):
1. Как я понял, мы фиксируем две переменных из u,v,w и двигаем третью. Почему (хотя это немного понятно) и до каких пор (а это уже менее понятно) мы можем так делать?

Пусть $a+b+c=3u$, $ab+ac+bc=3v^2$, где $v^2$ может быть отрицательным, и $abc=w^3$.
Тогда $a$, $b$ и $c$ - корни уравнения $f(x)=0$, где
$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-3ux^2+3v^2x-w^3$.
Поэтому уравнение $w^3=x^3-3ux^2+3v^2x$ имеет три действительных корня.
Если $u$ и $v$ фиксированны, а $w^3$ меняется, то для того, чтобы уравнение $w^3=x^3-3ux^2+3v^2x$ продолжало иметь три действительных корня, $w^3$ должно меняться только между максималным и минимальным значением функции $g(x)=x^3-3ux^2+3v^2x$.
Легко видеть, что эти экстремальные значеня $w^3$ соответствуют случаю, когда два корня уравнения $f(x)=0$ совпадают.
Эти простые соображения позволяют иногда свести доказательство неравенство к прстой проверке.
Например, если вы доказываете, что $F(a,b,c)\geq0$, где $F$ - симметрический однородный многочлен, то $F(a,b,c)=G(u,v^2,w^3)=h(w^3)$.
Если $h$ монотонна или вогнута, то $F$ получит своё наименьшее значение на границе значений $w^3$, то есть, когда две переменные совпадают.
Если переменные неотрицательны, то нужно проверить еще сдучай $w^3=0$.
Поскольку исходное неравенство однородно, то доказательство сводится к проверке неравенства от одного переменного.
При неотрицательных переменных с $u$ и $v^2$ проходит аналогичное рассуждение.
При действительных переменных нужно считаться с возможностью ухода на бесконечность и это неудобно.
M.Konst в сообщении #522386 писал(а):
2. Какую переменную двигать удобнее всего? И можно ли всегда обходиться только одной (т.е., например, я вижу, что двигать w у меня не получится, тогда и вообще двигать ничего буду, так как это бессмысленно)

$w^3$ лучше, так как степень $h$ меньше.
Бывают такие ситуации, что вариации $w^3$ не приводят к успеху, а вариации $u$ или $v^2$ помогают.
M.Konst в сообщении #522386 писал(а):
3. Может ли так оказаться, что простое неравенство этим методом вообще не решается?

Конечно! Можно увеличить число переменных, хотя этот метод иногда работает (с гораздо меньшим успехом, понятно) и для большего числа переменных.
Для доказательства циклических однородных неравенств иногда помогают удачно выбранные обозначения, но как правило это тупик, поскольку степень соответствующего симметрического неравенства будет слишком высокой и вычисления слишком громоздкими.
M.Konst в сообщении #522386 писал(а):
4. Как быстро доказать, что максимум/минимум в рамках задачи достигается при конкретном значении одной из переменных? (например, если мне потребуется написать полное решение олимпиадной задачи)

Это, как правило, не занимает много времени и места.
Проблема в другом. Этот метод часто раздражает тем, что убивает сразу некоторые задачи, реализующие какую-нибудь красивую, идею. Типа тригонометрии, которая убивает иногда красивые геометрические задачи.
Применение метода предполагает составление таблицы тождеств.
Например, $(a-b)^2(a-c)^2(b-c)^2=$
$=\sum\limits_{sym}(a^4b^2-a^4bc-a^3b^3+a^3b^2c-a^2b^2c^2)=$
$=27(3u^2v^4-4v^6-4u^3w^3+6uv^2w^3-w^6)$
или $(a^2+ab+b^2)(a^2+ac+c^2)(b^2+bc+c^2)=27(3u^2v^4-u^3w^3-v^6)$
Проверьте!

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод uvw
Сообщение06.01.2012, 21:09 


29/06/11
7
Спасибо, arqady, за подробное объяснение! В проверке тождеств меня хватило лишь на первое (с учетом того, что сошлось не с первой попытки), видимо, при использовании метода легко допустить ошибку.
Удобно ли перед непосредственной работой с $uvw$ применять какие-либо неравенства? Или, скажем, уже переведя все на язык $uvw$ применить неравенство, связанное непосредственно с ними?
Если я встретился с однородным неравенством на 4 переменных, например, $a,b,c,d$, то я ведь могу сказать, что $d=1$ и тогда будет ли $uvw$ использоваться с тем же успехом?
Понятно, что эти вопросы менее однозначные, но, думаю, при наличии опыта применения $uvw$ можно что-то по этому поводу сказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод uvw
Сообщение07.01.2012, 00:45 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
M.Konst в сообщении #523993 писал(а):
В проверке тождеств меня хватило лишь на первое (с учетом того, что сошлось не с первой попытки), видимо, при использовании метода легко допустить ошибку.

Мне кажется Вы меня не совсем правильно поняли. Вы заготавливаете эти тождества заранее, а на олимпиаде убиваете проверяющих верными высказываниями (типа: легко проверить, что...). Пусть сами и проверяют!
Есть тождества настолько частотные (вроде тех, которые я написал), что выучиваются сами собой.
Часто нужно знать только какой-то его важный кусок.
Например, $a^6+b^6+c^6=729u^6-1458u^4v^2+729u^2v^4-54v^6+162uv^2w^3-108u^3w^3+3w^6$,
из которого часто достаточно только знать, что $a^6+b^6+c^6=3w^6+P(u,v^2)w^3+Q(u,v^2)$,
а это легко запоминается.
Ведь если нам нужно, например, доказать, что $f(w^3)\leq0$, где $f(w^3)=w^6+P(u,v^2)w^3+Q(u,v^2)$,
то всё! Начинаем осуществлять проверки. Ведь $f$ выпукла, а мы ищем её максимум.
M.Konst в сообщении #523993 писал(а):
Удобно ли перед непосредственной работой с $uvw$ применять какие-либо неравенства? Или, скажем, уже переведя все на язык $uvw$ применить неравенство, связанное непосредственно с ними?

В зависимости от ситуации. Можно иногда и так, а можно и иначе.
M.Konst в сообщении #523993 писал(а):
Если я встретился с однородным неравенством на 4 переменных, например, $a,b,c,d$, то я ведь могу сказать, что $d=1$ и тогда будет ли $uvw$ использоваться с тем же успехом?

Там надо быть осторожным, если переменные не обязательно неотрицательны, а так - конечно же! Только неравенство получается неоднородным и если удаётся применить $uvw$, то вообще от двух переменных. Иногда это работает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод uvw
Сообщение08.01.2012, 13:03 


29/06/11
7
arqady в сообщении #524055 писал(а):
Мне кажется Вы меня не совсем правильно поняли. Вы заготавливаете эти тождества заранее, а на олимпиаде убиваете проверяющих верными высказываниями (типа: легко проверить, что...). Пусть сами и проверяют!
Есть тождества настолько частотные (вроде тех, которые я написал), что выучиваются сами собой.
Часто нужно знать только какой-то его важный кусок.
Например, $a^6+b^6+c^6=729u^6-1458u^4v^2+729u^2v^4-54v^6+162uv^2w^3-108u^3w^3+3w^6$,
из которого часто достаточно только знать, что $a^6+b^6+c^6=3w^6+P(u,v^2)w^3+Q(u,v^2)$,
а это легко запоминается.
Ведь если нам нужно, например, доказать, что $f(w^3)\leq0$, где $f(w^3)=w^6+P(u,v^2)w^3+Q(u,v^2)$,
то всё! Начинаем осуществлять проверки. Ведь $f$ выпукла, а мы ищем её максимум.

Теперь понимаю. Выглядит так, что метод выходит довольно мощным в случаях, когда он применим.
arqady в сообщении #523942 писал(а):
Тогда $a$, $b$ и $c$ - корни уравнения $f(x)=0$, где
$f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=x^3-3ux^2+3v^2x-w^3$.
Поэтому уравнение $w^3=x^3-3ux^2+3v^2x$ имеет три действительных корня.
Если $u$ и $v$ фиксированны, а $w^3$ меняется, то для того, чтобы уравнение $w^3=x^3-3ux^2+3v^2x$ продолжало иметь три действительных корня, $w^3$ должно меняться только между максималным и минимальным значением функции $g(x)=x^3-3ux^2+3v^2x$.
Легко видеть, что эти экстремальные значеня $w^3$ соответствуют случаю, когда два корня уравнения $f(x)=0$ совпадают.

Действительно легко получается, но я немного сомневаюсь в своих рассуждениях. Вот как мне кажется: необходимо и достаточно, чтобы уравнение $f'(x)=g'(x)=3x^2-6ux+3v^2$ имело действительные корни (которые легко считаются - $u\pm \sqrt{u^2-v^2}$) и значение функции $f$ в меньшем корне было неотрицательно, а значение в большем корне неположительно. То есть $f(u+ \sqrt{u^2-v^2})=g(u+\sqrt{u^2-v^2})-w^3\le0$ и $f(u-\sqrt{u^2-v^2})=g(u-\sqrt{u^2-v^2})-w^3\ge0$. Таким образом, $g(u+\sqrt{u^2-v^2})\le w^3 \le g(u-\sqrt{u^2-v^2})$. Если же $w^3=g(u\pm \sqrt{u^2-v^2})$, то получается, что $f(u\pm \sqrt{u^2-v^2})=0$, а это как раз и означает, что 2 корня совпали. Все верно?
arqady в сообщении #523942 писал(а):
Если переменные неотрицательны, то нужно проверить еще случай $w^3=0$.

Вот это мне уже не понятно. В чем смысл этой проверки, если $0$ будет промежуточным значением, а не крайним?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод uvw
Сообщение08.01.2012, 13:31 


25/08/11

1074
Спасибо за пояснения. А где-то есть текст о методе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод uvw
Сообщение08.01.2012, 15:39 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
M.Konst в сообщении #524511 писал(а):
Действительно легко получается, но я немного сомневаюсь в своих рассуждениях. Вот как мне кажется: необходимо и достаточно, чтобы уравнение $f'(x)=g'(x)=3x^2-6ux+3v^2$ имело действительные корни (которые легко считаются - $u\pm \sqrt{u^2-v^2}$) и значение функции $f$ в меньшем корне было неотрицательно, а значение в большем корне неположительно. То есть $f(u+ \sqrt{u^2-v^2})=g(u+\sqrt{u^2-v^2})-w^3\le0$ и $f(u-\sqrt{u^2-v^2})=g(u-\sqrt{u^2-v^2})-w^3\ge0$. Таким образом, $g(u+\sqrt{u^2-v^2})\le w^3 \le g(u-\sqrt{u^2-v^2})$. Если же $w^3=g(u\pm \sqrt{u^2-v^2})$, то получается, что $f(u\pm \sqrt{u^2-v^2})=0$, а это как раз и означает, что 2 корня совпали. Все верно?

Но ведь это очевидно и без всяких вычислений. Нарисуйте кубическую параболу $y=f(x)$ и прямую $y=w^3$ и меняйте $w^3$ так, чтобы у этих графиков были бы три (или в крайнем случае одна или две) точки пересечения.
M.Konst в сообщении #524511 писал(а):
arqady в сообщении #523942 писал(а):
Если переменные неотрицательны, то нужно проверить еще случай $w^3=0$.

Вот это мне уже не понятно. В чем смысл этой проверки, если $0$ будет промежуточным значением, а не крайним?

Ведь переменные неотрицательны и $0$ становится крайним значением для $w^3$. Поэтому нужно ещё проверить, что происходит, когда одна из переменных равна нулю.
sergei1961 в сообщении #524521 писал(а):
А где-то есть текст о методе?

Есть на английском:
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 5&t=278791
и на иврите:
http://taharut.org/articles/uvw.pdf

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод uvw
Сообщение08.01.2012, 19:04 


29/06/11
7
arqady в сообщении #524554 писал(а):
Но ведь это очевидно и без всяких вычислений. Нарисуйте кубическую параболу $y=f(x)$ и прямую $y=w^3$ и меняйте $w^3$ так, чтобы у этих графиков были бы три (или в крайнем случае одна или две) точки пересечения.

И правда :oops:
arqady в сообщении #524554 писал(а):
Ведь переменные неотрицательны и $0$ становится крайним значением для $w^3$. Поэтому нужно ещё проверить, что происходит, когда одна из переменных равна нулю.

Ой, извиняюсь, я вместо "неотрицательные" прочитал, что это случай, когда они могут быть отрицательными :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод uvw
Сообщение11.01.2012, 16:46 


25/08/11

1074
Интересно. Вышла такая милая книжечка:
Zdravko Cvetkovski. Inequalities. (Theorems, Techniques and Selected Problems).
Шпрингер, 2012.
Там просто содран на целую главу этот метод со всеми примерами, и без всяких ссылок. И название такое скромное.
Кому то из авторов обидно?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group