Функциональное уравнение

[Ktina]

Существует ли такая функция $ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$, отличная от f(n)=n, что $f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))=3n$ для каждого натурального n?

[Dave]

Допустим, что существует. Пусть $a=\min \, \{n \in \mathbb N \, | \, f(n) \neq n \}$. Тогда $f(a) \neq a$ и $f(n)=n$ при $n<a$. Если бы для какого-либо $n \geqslant a$ было $b=f(n)<a$, то тогда $f(f(n))=f(b)=b$ (вследствие $b<a$) и $f(f(f(n)))=f(b)=b$, а значит $f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))=3b<3a \leqslant 3n$ - противоречие. Поэтому $f(n) \geqslant a$ при всех $n \geqslant a$. В частности, $c=f(a) \geqslant a$. Учитывая, что $f(a) \neq a$, получаем, что $c>a$. Но тогда, учитывая вышесказанное, $d=f(f(a))=f(c) \geqslant a$ и $e=f(f(f(a)))=f(d) \geqslant a$, стало быть, $f(a)+f(f(a))+f(f(f(a)))=c+d+e > 3a$ - противоречие. $\blacksquare$

[Simba]

Dave в сообщении #521673 писал(а):

Допустим, что существует. Пусть $a=\min \, \{n \in \mathbb N \, | \, f(n) \neq n \}$. Тогда $f(a) \neq a$ и $f(n)=n$ при $n<a$. Если бы для какого-либо $n \geqslant a$ было $b=f(n)<a$, то тогда $f(f(n))=f(b)=b$ (вследствие $b<a$) и $f(f(f(n)))=f(b)=b$, а значит $f(n)+f(f(n))+f(f(f(n)))=3b<3a \leqslant 3n$ - противоречие. Поэтому $f(n) \geqslant a$ при всех $n \geqslant a$. В частности, $c=f(a) \geqslant a$. Учитывая, что $f(a) \neq a$, получаем, что $c>a$. Но тогда, учитывая вышесказанное, $d=f(f(a))=f(c) \geqslant a$ и $e=f(f(f(a)))=f(d) \geqslant a$, стало быть, $f(a)+f(f(a))+f(f(f(a)))=c+d+e > 3a$ - противоречие. $\blacksquare$

Надо же заканчивать! Значит нету такого $a$, тобишь $f(n)=n$, что по условию быть не может.

Мне не ясно следующее: $f(n)=n$ при $n<a$.

[MrDindows]

Simba в сообщении #521781 писал(а):

Мне не ясно следующее: $f(n)=n$ при $n<a$.

Мы выбираем минимальное $a$, такое что $f(a)\ne a$. Значит для всех $n<a$, выполняется $f(n)=n$.