пределы

[Andrei94]

Каким способом лучше найти такие пределы?

1)

$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x\cdot \sqrt{\cos 2x}\sqrt[3]{\cos 3x}}{x^2}$

Приходит в в голову идеи
а) сразу Лопиталь.
б) Правила эквив. , а потом Лопиталь
Но это все громоздко, может есть варианты поинтересней?

2) $\lim\limits_{x\to a}\Big(\dfrac{1+x}{2+x}\Big)^{\frac{1-\sqrt x}{1-x}}$

a) $a=0$

b) $a=1$

c) $a=+\infty$

a) тут вроде как подразумевается только $0+0$?

Если $x \to 0+0$ , то подстановка дает $0,5$

b) Тут вроде как 2 варианта. $1-0$ и $1+0$

Но как проще искать $\exp\ln$ или второй замечательный предел?

c) Подстановка дает $1^0$ правильно или тут нужно иначе?

3)

$\lim\limits_{x\to\infty}\Big(\sin\sqrt{x+1}-\sin{\sqrt x}\Big)$

Пробовал формулу разности синусов, но она не спасла...

[phys]

1. Вот на вскидку, каково максимальное значение числителя?
В частности, какого максимальное значение произведения косинусов.
ие произведения косинусов. (только не вздумайте исследовать с помощью первой производной)[/quote]

[Andrei94]

phys в сообщении #520736 писал(а):

1. Вот на вскидку, каково максимальное значение числителя?
В частности, какого максимальное значение произведения косинусов.

-- Вт дек 27, 2011 22:23:32 --

phys в сообщении #520736 писал(а):

1. Вот на вскидку, каково максимальное значение числителя?
В частности, какого максимальное значение произведения косинусов. (только не вздумайте исследовать с помощью первой производной)

Спасибо, да я перепутал -- $x\to 0$, а не $x\to+\infty$

Если $x\to+\infty$, то числитель от нуля до 1, а знаменатель стремится к бесконечности. значит дробь к нулю

Но в условии все-таки к нулю)

[phys]

По первому:
Ну, если к нолю, это меняет дело, тут кроме применения эквивалентных функций ничего больше придумывать не нужно. Только учтите - ЕМНИП, то под корнем третьей степени косинус вам тут нужно раскладывать до шестой степени, под корнем второй степени - до четвертой.

По второму:

а) Именно так, неопределенности нет.

б) Ну, я бы начал с замены, которая аргумент сделает стремящимся к нолю, а далее второй замечательный.. Не обещаю что из этого что то выйдет, но попробовать нужно.

(Оффтоп)

Понимаете ли, отрываться от кастрюли гречки с тушенкой ради предела ой как не хочется

в) Ну, делите дробь, сводите к второму замечательному, если это не какой то олимпиадный предел то должно решится.

[srm]

Я бы косинусы заменил по первому замечательному пределу, а дальше попробовал поделить числитель и знаменатель на $x^2$
Или косинус разложить в ряд и найти предел для ряда..

[Andrei94]

phys в сообщении #520745 писал(а):

По первому:
Ну, если к нолю, это меняет дело, тут кроме применения эквивалентных функций ничего больше придумывать не нужно. Только учтите - ЕМНИП, то под корнем третьей степени косинус вам тут нужно раскладывать до шестой степени, под корнем второй степени - до четвертой.

По второму:

а) Именно так, неопределенности нет.

б) Ну, я бы начал с замены, которая аргумент сделает стремящимся к нолю, а далее второй замечательный.. Не обещаю что из этого что то выйдет, но попробовать нужно.

(Оффтоп)

Понимаете ли, отрываться от кастрюли гречки с тушенкой ради предела ой как не хочется

в) Ну, делите дробь, сводите к второму замечательному, если это не какой то олимпиадный предел то должно решится.

Спасибо, ясно! А что с третьим можно сделать, где разность синусов?

-- 27.12.2011, 21:49 --

srm в сообщении #520748 писал(а):

Я бы косинусы заменил по первому замечательному пределу, а дальше попробовал поделить числитель и знаменатель на $x^2$
Или косинус разложить в ряд и найти предел для ряда..

А в первом замечательном пределе есть косинусы?)

[phys]

(Оффтоп)

По третьему - ну опять же, подставьте миллион ...
Хотя нет, тут не все так просто, не подставляйте, написал не подумав.

[Donald]

Эквивалентные функции это имеется ввиду ряд Тейлора-Маклорена?

[srm]

Andrei94 в сообщении #520750 писал(а):

А в первом замечательном пределе есть косинусы?)

$x^2+\cos^2 x=1$

[Andrei94]

Donald в сообщении #520758 писал(а):

Эквивалентные функции это имеется ввиду ряд Тейлора-Маклорена?

Я имел ввиду их, не знаю -- какие еще есть...

-- 27.12.2011, 22:10 --

srm в сообщении #520761 писал(а):

Andrei94 в сообщении #520750 писал(а):

А в первом замечательном пределе есть косинусы?)

$x^2+\cos^2 x=1$

Теперь понятно)А так будет проще?

-- 27.12.2011, 22:11 --

Вообщем самый большой вопрос по этому пример, тут вообще идей нет...
$\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(\sin\sqrt{x+1}-\sin{\sqrt x}\Big)$

[srm]

Andrei94 в сообщении #520763 писал(а):

Вообщем самый большой вопрос по этому пример, тут вообще идей нет...

По ходу, предела не существует.

[Andrei94]

srm в сообщении #520768 писал(а):

Andrei94 в сообщении #520763 писал(а):

Вообщем самый большой вопрос по этому пример, тут вообще идей нет...

По ходу, предела не существует.

А в ответах написано, что ноль....

Кажется я разобрался, все понятно вроде как)

[Donald]

А если там x заменить на 1/t предположим и также разложить в ряд Тейлора?

[Andrei94]

$\lim\limits_{x\to+\infty}\Big(\sin\sqrt{x+1}-\sin{\sqrt x}\Big)=2\lim\limits_{x\to+\infty}A\cdot B$

$A=\limits_{x\to+\infty}\sin\Big(\dfrac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{2}\Big)=0$

$B=\limits_{x\to+\infty}\cos\Big(\dfrac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{2}\Big)$

Второй же предел, вроде как не существует, но функция ограничена.

$|B|<1$

Вроде как есть какая-то теорема, что если ограниченную функцию умножить на функцию, стремящ к нулю, то будет ноль.

Только не знаю -- как она называется...Может подскажете?

[Donald]

А зачем теорема?Это же вроде очевидно,что если что-то умножить на другое что-то стремящееся к нулю,то будет 0.Разве первая функция должна быть для этого ограничена?