Ряд

[Geros]

Господа.
Помогите, пожалуйста, найти сумму ряда: $\sum n^k/k^n$. Суммирование ведётся по натуральным $n$. $k$ выбирается произвольно как "аргумент" (тоже натуральный).
Желательно бы найти явную формулу суммы от $k$.
Но рекурентная тоже была бы к месту.
Заранее благодарен.

P. S. Кто-нибудь в курсе, ряд этот как нибудь называется, он именной?

[ИСН]

Что значит "явную формулу суммы от $n$ и $k$"? Сумма не зависит от n.

[Geros]

Да, извините, описался!!! Прошу прощения. Конечно, не зависит . Я про формулу от $k$. Исправил...

[srm]

Geros, не для всех натуральных k ряд будет сходиться.

[Geros]

Тонкое замечание . Возьмём $k > 1$. Так лучше? По-моему, для всех остальных натуральных k он сходится.

[ИСН]

Тогда уж имеет смысл рассматривать сразу $\sum\limits_1^\infty n^kx^n,\;k\in\mathbb N,\,x<1$. Частный случай $x={1\over k}$ ничем не проще и не красивее общего.

[Geros]

Цитата:

Тогда уж имеет смысл рассматривать сразу $\sum\limits_1^\infty n^kx^n,\;k\in\mathbb N,\,x<1$. Частный случай $x={1\over k}$ ничем не проще и не красивее общего.

Да сколько угодно . Можно вообще (для пущей общности) рассмотреть ряд отдельно по степеням k и x.
Впрочем, я спрашивал именно про первоначальный ряд, хотя соглашусь, некоторое обобщение уместно. Пусть будет так: $\sum\limits_1^\infty {n^k\over (k+a)^n}$.
Какие идеи?
Кстати, насчёт названия хотелось бы узнать.

[ИСН]

По-моему, никак не называется, но чёрт их знает, мало ли, может, кто и прилепился. А берётся банально. Вот смотрите, $\sum\limits_1^\infty n\cdot x^n$ чему равна?

[Geros]

Ну, хотя бы и ${x\over(1-x)^2}$.

[ИСН]

Так. Ну а теперь остальные таким же манером. Легко берётся, положим, $\sum\limits_1^\infty {n(n+1)\over2}\cdot x^n$.

[Geros]

Допустим, что-то вроде ${x\over(1-x)^3}$.

[ИСН]

Ну вот! А собрать $\sum\limits_1^\infty n^2\cdot x^n$ из этих двух сумеете? Это раз.
Далее. Довольно легко выражается $\sum\limits_1^\infty {n(n+1)(n+2)\over6}\cdot x^n$. А из него и предыдущих можно слепить...

[Geros]

Ну, это что-то вроде рекурентной формулы, или там алгоритма. А с явной формулой от $k$ как?

[srm]

Geros, посчитайте для $k = 2$, $k = 3$, $k = 4$. Может быть дальше будет понятна зависимость.

[ИСН]

Нету. Или так: любая явная формула - это и есть алгоритм, который просто долго болтался среди народа и к нему все привыкли. А вообще - http://mathworld.wolfram.com/EulerianNumber.html, по-моему, это они там вылазят.