2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Найти плотность распределения суммы двух случайных величин
Сообщение20.12.2011, 22:10 
Найти плотность распределения суммы двух независимых случайных величин: $\(\xi\) $, распределенной равномерноа отрезке$[a,b]$ и $\(\eta\)$ распр. равномерно на отрезке $[c,d]$, где $a<b, c<d, b-a\leq d-c$

вопрос,
1)правильно ли я посчитал? если да, то какие мне подставить значения у кси, чтобы получить конечный ответ. и последнее,
2)как доказать, что это деййствительно плотность?
мое решение:
Случайная величина $\(\xi\) $имеет распределение на $[a, b]$. Это означает, что плотность распределения имеет вид: $$f(\xi) = 1/(b - a), (a \leq \xi \leq b) $$
В другом варианте будет 0.
Случайная величина $\(\eta\)$ имеет равномерное распределение на отрезке $[c;d]$. Это означает, что плотность распределения имеет вид: $$g(\eta) = 1/(d - c), (c \leq \eta \leq d) $$
В другом варианте будет 0.
Пусть $\gamma = \xi + \eta$
Так как случайные величины $\(\xi\)$ и $\(\eta\) $являются независимыми, то плотность распределения $p(\gamma)$ случайной величины $\(\gamma\)$ может быть найдена с помощью формулы свертки:
$p(\gamma) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi - \eta)g(\eta)\,d\eta $
$$p(\gamma) = \int_{-\infty}^c f(\xi - \eta)g(\eta)\,d\eta + \int_c^d f(\xi - \eta)g(\eta)\,d\eta + \int_d^{+\infty} f(\xi - \eta)g(\eta)\,d\eta$$
$$p(\gamma) = \int_{-\infty}^c f(\xi - \eta)0\,dy + \int_c^d f(\xi - \eta)1/(d - c)\,d\eta + \int_d^{+\infty} f(\xi - \eta)0\,d\eta$$
$$p(\gamma) = \int_c^d f(\xi - \eta)1/(d - c)\,dy = [z = \xi - \eta ; dz = -d\eta] = 1/(d - c)\int_{\xi - c}^{\xi - d} f(z)\,dz$$

 
 
 
 Re: Найти плотность распределения суммы двух случайных величин
Сообщение22.12.2011, 20:11 
ну что, у кого какие догадки??

 
 
 
 Re: Найти плотность распределения суммы двух случайных величин
Сообщение22.12.2011, 20:27 
Аватара пользователя
 !  Kirillko93, устное замечание за искусственное поднятие темы.

 
 
 
 Re: Найти плотность распределения суммы двух случайных величин
Сообщение22.12.2011, 21:04 
Аватара пользователя
Kirillko93 в сообщении #517871 писал(а):
$p(\gamma) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(\xi - \eta)g(\eta)\,d\eta $
...
$$p(\gamma) = \int_c^d f(\xi - \eta)1/(d - c)\,dy = [z = \xi - \eta ; dz = -d\eta] = 1/(d - c)\int_{\xi - c}^{\xi - d} f(z)\,dz$$

Есть одно радикальное предложение. Давайте сделаем так, чтобы все функции зависели от нормальных переменных - $x, y, z, t, u, v, s$ и т.п. А не от тех букв, которыми обозначены случайные величины. Потому что уже Ваша формула свёртки представляет равенство, в котором слева - функция от $\gamma$, а справа - от $\xi$. В последней же строчке и вовсе бардак.

Но если иметь в виду, что левая часть в последней формуле - это всё же функция от вещественной переменной $\xi$, как и правая, то просто рассмотрите все варианты таких $\xi$, при которых отрезки $[\xi-c, \xi-d]$ и $[a, b]$ пересекаются. В зависимости от $\xi$ пересечение этих отрезков может быть разное, и интегрировать плотность $1/(b-a)$ придётся по пересечению этих отрезков.
Расположите четыре точки $a+c$, $b+c$, $a+d$, $b+d$ на прямой, и рассмотрите все пять вариантов того, где может находиться $\xi$ - слева от $a+c$, между $a+c$ и $b+c$ и т.д.
И в каждом случае посмотрите, какой окажется область интегрирования.

 
 
 
 Re: Найти плотность распределения суммы двух случайных величин
Сообщение25.12.2011, 12:28 
--mS--

в очередной раз спасибо)
задачку сдал. дорешал вот так:
$$p_\gamma(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} p_\xi(x - y) p_\eta(y)dy$$
$$p_\gamma(x) = \int_{-\infty}^{+\infty} p_\xi(x - y) p_\eta(y)dy$$
$$p_\gamma(x) = \int_{-\infty}^c p_\xi(x - y) p_\eta(y)dy + \int_c^d p_\xi(x - y) p_\eta(y)dy + \int_d^{+\infty} p_\xi(x - y) p_\eta(y)dy$$
$$p_\gamma(x) = \int_{-\infty}^c p_\xi(x - y)0dy + \int_c^d p_\xi(x - y)1/(d - c)dy + \int_d^{+\infty} p_\xi(x - y)0dy$$
$$p_\gamma(x) = 1/(d - c) \int_c^d p_\xi(x - y)dy = [z = x - y;\ dz = -dy] = 1/(d - c) \int_{x - d}^{x - c} p_\xi(z)dz$$
Соответственно распределение равно:
1) $x < a + c, p_\gamma(x) = 0$
2) $a+c \leq x \leq b + c$
$$p_\gamma(x) =  1/(d - c) \int_{x - d}^{a}0dz \ + \ 1/(d - c) \int_{a}^{x - c} dz/(b - a) = (x - c - a)/(d - c)(b - a)$$
3) $b + c \leq x \leq a + d$
$$p_\gamma(x) =  1/(d - c) \int_{x - d}^{a}0dz \ + \ 1/(d - c) \int_{a}^{b} dz/(b - a) \ + \ 1/(d - c) \int_{b}^{x - c}0dz= (b - a)/(d - c)(b - a)$$
4) $a + d \leq x \leq b + d$
$$p_\gamma(x) =  1/(d - c) \int_{x - d}^{b} dz/(b - a) \ + \ 1/(d - c) \int_{b}^{x - c} 0dz = (b - x + d)/(d - c)(b - a)$$
5) $x > b + d, p_\gamma(x) = 0$
Ответ:
$\[ p_\gamma(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
0 & \textrm{для }  x < a + c;\ x > b + d\textrm{,}\\
(x - c - a)/(d - c)(b - a) & \textrm{для } a+c \leq x \leq b + c {,}\\
(b - a)/(d - c)(b - a) & \textrm{для }  b + c \leq x \leq a + d {,}\\
(b - x + d)/(d - c)(b - a) & \textrm{для } a + d \leq x \leq b + d
\end{array} \right. \]$

-- 25.12.2011, 12:49 --

какая-то странная фигня с формулами, хотя написаны вроде правильно. только на последнюю ругаются, но она как раз рендерится верно)

 
 
 
 Re: Найти плотность распределения суммы двух случайных величин
Сообщение25.12.2011, 13:14 
Похоже на правду, только фактически всё гораздо проще. Ясно, что график плотности -- это равнобедренная трапеция с абсциссами вершин с точках $(a+c)$, $(b+c)$, $(a+d)$, $(b+d)$ и высотой $h$; вот только последнюю и остаётся найти. Ну так она мгновенно находится из условия нормировки -- площадь трапеции должна быть единичной:

$\dfrac{h}{2}\cdot\big((b+d-a-c)+(a+d-b-c)\big)=1.$

А теперь, когда координаты всех вершин известны, элементарно выписываются и явные формулы для плотности на всех участках.

 
 
 
 Re: Найти плотность распределения суммы двух случайных величин
Сообщение25.12.2011, 19:04 
ewert
все гениальное просто)
сам бы не догадался)

 
 
 
 Re: Найти плотность распределения суммы двух случайных величин
Сообщение25.12.2011, 19:30 
Аватара пользователя
А Вам тоже ясно то, что ясно ewert? Мне, например (если не учитывать, что я знаю, как выглядит ответ, и знаю, почему он так выглядит), это априори совсем не ясно.

 
 
 
 Re: Найти плотность распределения суммы двух случайных величин
Сообщение25.12.2011, 20:28 

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #519769 писал(а):
Мне, например (если не учитывать, что я знаю, как выглядит ответ, и знаю, почему он так выглядит), это априори совсем не ясно.

Ну, симметрия-то распределения относительно центра (учитывая симметричность картинки) -- надеюсь, ясна?...

И линейность плотности на каждом участке между точками перескоков через вершины прямоугольников, в которых (и только в которых) меняются условия пересечения прямой $x+y=t$ с границами прямоугольника -- я думаю, тоже?...

И непрерывность плотности в зависимости от параметра $t$ -- ну уж наверняка?...

А что ещё надо.

 
 
 
 Re: Найти плотность распределения суммы двух случайных величин
Сообщение25.12.2011, 21:37 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Вот кабы мы решали задачу через геометрическую вероятность, все эти очевидности были бы действительно очевидными. Каким образом они могут стать очевидными человеку, который не увидел геометрического пути решения, а предпочёл формулу свёртки, мне абсолютно не очевидно.

 
 
 
 Re: Найти плотность распределения суммы двух случайных величин
Сообщение25.12.2011, 21:55 

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #519818 писал(а):
Вот кабы мы решали задачу через геометрическую вероятность,

Да там она ни разу не геометрическая (с формальной стороны). Но вот обнаружить симметрию задачки -- и её определённую непрерывность -- аффтар,по-моему, был обязан.

Хотя, конечно, смотря какие претензии к аффтару предъявлять.

 
 
 
 Re: Найти плотность распределения суммы двух случайных величин
Сообщение25.12.2011, 21:59 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

ewert в сообщении #519825 писал(а):
Да там она ни разу не геометрическая (с формальной стороны). Но вот обнаружить симметрию задачки -- и её определённую непрерывность -- аффтар,по-моему, был обязан.

Каким образом, без геометрической интерпретации? Ещё линейность, которая тоже вчера была очевидна ;)

 
 
 
 Re: Найти плотность распределения суммы двух случайных величин
Сообщение25.12.2011, 22:13 

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #519829 писал(а):
Ещё линейность, которая тоже вчера была очевидна ;)

Она и всегда была очевидна. Даже и позавчера. Вообще же -- не понимаю, о чём мы тут с Вами спорим.

 
 
 
 Re: Найти плотность распределения суммы двух случайных величин
Сообщение25.12.2011, 22:59 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

Да мы не спорим. Я-то надеялась, Вы покажете, как увидеть очевидность трапециевидности плотности, исходя из сворачивания двух прямоугольных плотностей, ан как ни закручиваю прямую с двух концов вокруг то той, то другой точки на основании трапеции, не вижу ни линейности, ни непрерывности, ни тем более постоянства плотности на верхнем основании трапеции. А всё оказалось куда банальнее.

 
 
 
 Re: Найти плотность распределения суммы двух случайных величин
Сообщение26.12.2011, 08:50 
--mS-- в сообщении #519854 писал(а):
Я-то надеялась, Вы покажете, как увидеть очевидность трапециевидности плотности, исходя из сворачивания двух прямоугольных плотностей,

Ровно из свёртки я и исходил, а не из какой не "геометрической вероятности". Свёртка -- это интеграл от совместной плотности вдоль той самой наклонной прямой. Совместная плотность постоянна внутри прямоугольника и равна нулю вне его. Т.е. значение свёртки пропорционально длине отрезка, по которому та прямая пересекает прямоугольник. И неважно, с каким конкретно коэффициентом пропорциональна -- нормировать всегда успеется. Ну а длина того отрезка зависит от параллельного смещения прямой, очевидно, непрерывно и кусочно-линейно. Очевидно.

-- Пн дек 26, 2011 10:03:39 --

Для полноты картинки приведу ещё первое, что мне пришло в голову при взгляде на эту задачку -- исходить не из плотности, а из функции распределения. Оно, конечно, уродливее, но тоже совсем не занудно.

Функция распределения пропорциональна площади, отсекаемой от прямоугольника условием $x+y < t$. Из картинки видно, что эта площадь зависит от параметра $t$ квадратично, пока линия $x+y=t$ поднимается от левого нижнего угла прямоугольника до правого нижнего; линейно между левым нижним и правым верхним; и, наконец, снова квадратично (но уже с обратной выпуклостью) изменяется до правого верхнего угла, за которым стабилизируется на единице. А из симметрии картинки следует, что эта функция должна иметь вид:

$F_{\xi+\eta}(t)=\begin{cases}0&\ \ \text{при}\ t\leqslant a+c;  \\  \beta(t-a-c)^2&\ \ \text{при}\ a+c\leqslant t\leqslant b+c;  \\  \frac12+\gamma(t-\frac{a+b+c+d}{2})&\ \ \text{при}\ b+c\leqslant t\leqslant a+d;  \\  1-\beta(t-b-d)^2&\ \ \text{при}\ a+d\leqslant t\leqslant b+d;  \\ 1&\ \ \text{при}\ t\geqslant b+d. \end{cases}$

И остаётся только сшить вторую и третью строчку в точке $t=b+c$ (третья и четвёртая тогда сошьются автоматически), т.е. потребовать, чтобы в этой точке совпадали как значения самих этих выражений, так и их производных -- получится простенькая системка на неизвестные параметры $\beta,\gamma$.

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group