количество корней многочленов с целыми коэффициентами

[oveka]

Как подступиться к это задаче?
Многочлен $f(x)$ с целыми коеффициентами имеет, по крайней мере, один целый корень. Какое максимальное число целых корней может иметь многочлен $g(x)=f(x)+1$?

[Null]

Попробуйте сделать замену так, чтоб целый корень $f$ стал нулем.

[Sonic86]

А корни с учетом кратности? Если да, то число корней может быть максимальным.

[alcoholist]

Sonic86 в сообщении #517534 писал(а):

А корни с учетом кратности? Если да, то число корней может быть максимальным.

Было бы слишком просто, мне кажется. Вероятно, пропущено слово "различных"

[Sonic86]

Null в сообщении #517467 писал(а):

Попробуйте сделать замену так, чтоб целый корень $f$ стал нулем.

Отсюда и получается, что верхняя оценка числа корней достижима (пробуйте многочлен 2-й степени)

[alcoholist]

Sonic86 в сообщении #517628 писал(а):

Отсюда и получается, что верхняя оценка числа корней достижима (пробуйте многочлен 2-й степени)

с "различными" корнями задачка поинтересней

[Sonic86]

alcoholist в сообщении #517637 писал(а):

с "различными" корнями задачка поинтересней

Я понял, я про различные теперь и говорю

[sergei1961]

Похоже сколько угодно может быть

[alcoholist]

Sonic86 в сообщении #517628 писал(а):

Отсюда и получается, что верхняя оценка числа корней достижима (пробуйте многочлен 2-й степени)

Пробуем.

Если $g$ имеет два различных целых корня, то $g(x)=a(x-n)(x-m)$. Каким же должен быть $f$?

$f(x)=ax^2-a(n+m)x+amn-1$

Если один корень у $f$ -- целое число, то и второй должен быть целым (сумма корней равна $m+n$), поэтому $mn-1/a$ -- целое, поэтому $a=\pm 1$.

Смотрим на дискриминант $D_f=(n+m)^2\mp 4(\pm mn-1)=(n-m)^2\pm 2^2$.
Если $m\ne n$, то $D$ не является полным квадратом, увы.

[Sonic86]

Например $f(x)=-x^2$ имеет хотя бы один корень, а $g(x)=-x^2+1$ - два. Правильно?

alcoholist в сообщении #518534 писал(а):

дискриминант $D_f=(n+m)^2\mp 4(\pm mn-1)=(n-m)^2\pm 2^2$.
Если $m\ne n$, то $D$ не является полным квадратом, увы.

Соответственно при $n=1;m=-1$ и знаке $-$ получаем квадрат. А в остальных случаях действительно $n \neq m$.

[alcoholist]

да, кратность я и не приметил:)