Преобразование арифметической суммы

[AVE]

Я доказал, что, если

$$\alpha(n) = \sum_{d|n} f(d)$$

то

$$\sum_{k = 1}^{n} \alpha(k) = \sum_{k = 1}^{n} f(n) \left[\frac{n}{k}\right] $$

В частности,

$$\sum_{k = 1}^{n} \tau(k) = \sum_{k = 1}^{n} \left[\frac{n}{k}\right] $$

Можно ли это обобщить?
Доказывал просто подсчётом, сколько чисел делится на каждое $k$.

[maxal]

Куда обобщить?

А вообще см. Обращение Мёбиуса и рядом.