Коэффициент Корреляции.

[--mS--]

Ошибаетесь.

[final_sleep]

--mS--, во всем, да?

[--mS--]

final_sleep в сообщении #517033 писал(а):

--mS--, во всем, да?

Вряд ли сразу во всём: наверняка, Вы не ошибаетесь в своей фамилии или имени. Но в указанных матожиданиях для нормального распределения - да, и в том, и в другом. И для показательного - почти во всех, кроме $\mathsf E\xi$ и $\mathsf D\xi$. Считать не пробовали?

[final_sleep]

--mS--
сейчас попробую посчитать как надо, вроде раскурил как!

$\displaystyle M(\xi^2)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}^{-\frac{(x^2-\mu)^2}{2\sigma^2}}}$, так или нет?

[final_sleep]

Вроде, как для нормального распределения $M(\xi)=M(\xi^3)=0$, если считать интегралы:
$\displaystyle M(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}{x\frac{1}{ \sqrt{2\pi}}^{-\frac{x^2}{2}}dx}=0;$
$\displaystyle M(\xi^3)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^3\frac{1}{ \sqrt{2\pi}}^{-\frac{x^2}{2}}dx};\textrm{Главное Значение по Коши = 0}.$
Исходя из этого коэффицент корреляции будет равен $0$ в первом случае.

Для случая б) возникает логичный вопрос: как посчитать для квадрата и куба случайной величины математическое ожидание?
${\displaystyle M(\xi^2)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2 \lambda e^{-\lambda x}dx=0} }$ - вроде как.
${\displaystyle M(\xi^3)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^3 \lambda e^{-\lambda x}dx}}$ - ?
Считаю в Вольфраме - значения не выдает.
Тот же вопрос для $D(\xi^2)$.

[ewert]

final_sleep в сообщении #517121 писал(а):

для нормального распределения $M(\xi)=M(\xi^3)=0$ исходя из этого коэффицент корреляции будет равен 0 в первом случае.

Верно, и остаётся только надеяться, что Вы понимаете, почему верно.

Теперь честно выпишите здесь нахождение какого-либо начального момента для показательного распределения. Лучше сразу же произвольной степени, если Вы знаете гамма-функцию и её связь с факториалом. Если же не знаете -- то потихонечку, тупо интегрируя раз за разом по частям.

[final_sleep]

$\alpha_{k}(\xi)=M(\xi^{k})=\int_{-\infty}^{\infty}{x^{k}f(x)dx}$, что-то такое, нет?

[--mS--]

final_sleep в сообщении #517121 писал(а):

Вроде, как для нормального распределения $M(\xi)=M(\xi^3)=0$, если считать интегралы:
$\displaystyle M(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty}{x\frac{1}{ \sqrt{2\pi}}^{-\frac{x^2}{2}}dx}=0;$
$\displaystyle M(\xi^3)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^3\frac{1}{ \sqrt{2\pi}}^{-\frac{x^2}{2}}dx};\textrm{Главное Значение по Коши = 0}.$

При чём тут главное значение по Коши? Что требуется от интеграла, чтобы математическое ожидание существовало? Почему эти интегралы нулевые?

final_sleep в сообщении #517121 писал(а):

Для случая б) возникает логичный вопрос: как посчитать для квадрата и куба случайной величины математическое ожидание?
${\displaystyle M(\xi^2)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^2 \lambda e^{-\lambda x}dx=0} }$ - вроде как.
${\displaystyle M(\xi^3)=\int_{-\infty}^{\infty}{x^3 \lambda e^{-\lambda x}dx}}$ - ?
Считаю в Вольфраме - значения не выдает.

Ещё бы. Вы не видите, что оба интеграла у Вас расходятся? Как ведёт себя подынтегральная функция и в том, и в другом на минус бесконечности? Я уж не говорю, что интеграл от положительной функции у Вас оказывается нулевым - это КАК?

Выпишите плотность показательного распределения. Только сначала - не сюда, тут уже довольно ерунды. Сначала - на бумажку то, что Вы хотите написать сюда. Напишите на бумажке, посмотрите на формулу, график себе нарисуйте, проверьте по свойствам, будет ли нарисованное и написанное плотностью, и только если всё будет в порядке, напишите ответ тут.

-- Пн дек 19, 2011 12:53:49 --

final_sleep в сообщении #517133 писал(а):

$\alpha_{k}(\xi)=M(\xi^{k})=\int_{-\infty}^{\infty}{x^{k}f(x)dx}$, что-то такое, нет?

Такое, такое. Ещё бы знать, в каком смысле понимается интеграл, плотность знать и свойства интегралов. Хотя бы в рамках школьных представлений о площадях подграфиков.

(Оффтоп)

Коллеги, мне кажется, или действительно в этом году студенты, посещающие форум, имеют гораздо меньшие представления о матанализе, чем даже в прошлом? Ещё до конца декабря далеко, а ощущение краха образования стопроцентное...

[ewert]

(Оффтоп)

--mS-- в сообщении #517139 писал(а):

Коллеги, мне кажется, или действительно в этом году студенты, посещающие форум, имеют гораздо меньшие представления о матанализе, чем даже в прошлом?

Могу лишь судить по коллегам, работающим на других факультетах -- они действительно плюются (впрочем, они каждый год плюются). Мне же лично повезло -- случайно достался довольно сильный поток, так что для меня по сравнению с предыдущими годами -- это несколько небо и земля. В общем, не могу быть объективным. К тому же читаю не анализ,а алгебру/геометрию. Впрочем, по анализу кой-какие занятия тоже веду, и там они тоже выглядят достаточно разумно.

[final_sleep]

Ну насколько мне известно, то мат. ожидание существует, только если интеграл сходится абсолютно. В нашем случае его не существует.

(Оффтоп)

--mS--
Вместо того, чтобы поносить "тупых" студентов, взяли да растолковали. Даже если вы этого открыто не сказали - я уверен процентов на 80, что так подумали. У меня 3/4 кафедры или на репетиторах, или просто ничего не понимают. Как-то так. Что говорить если практика была раз в 2 недели и иногда пропадала. Заметьте, я не попросил решить задачу, а попросил объяснить её.

Плотность экспоненциального распределения :
$f_{\xi}(x) = 0 \textrm{, если $,}\
$f_{\xi}(x)=\lambda e^{-\lambda x} \textrm{, если x \in[0,\infty)$.}

подынтегральная функции на минус бесконечности стремиться вроде как к плюс бесконечности, ага.

[_hum_]

final_sleep, вы просто упустили из виду, что
$\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&\text{если }\, x \geq 0,\\ 0,&\text{иначе.} \end{cases} \end{equation*}$

[final_sleep]

_hum_, да я уже дописывал а вы написали.

-- 19.12.2011, 19:30 --

на самом деле подынтегральная функция на $(-\infty,0)$ по-моему должна быть равна нулю, как раз потому что плотность распределения на этом промежутке равна 0.

ну можете назвать меня тупым, но я вроде как посчитал мат. ожидание для показательного.
$ M(\xi^2)=\frac{2}{\lambda^2}$
$ M(\xi^3)=\frac{6}{\lambda^3}$
$ M(\xi^4)=\frac{24}{\lambda^4}$

[ewert]

final_sleep в сообщении #517341 писал(а):

на самом деле подынтегральная функция на $(-\infty,0)$ по-моему должна быть равна нулю, как раз потому что плотность распределения на этом промежутке равна 0.

Вы уж определитесь с вопросами.

Если подынтегральная функция есть плотность, то следует ли из этого, что она плотность -- или, наоборот, следует, что она не плотность?...

Если что-то по определению где-то равно нулю -- следует ли из этого, что оно именно там равно нулю?... Или, наоборот, из этого следует, что нас обманывают и нулю оно равно в совсем в другом месте, а тут -- вовсе не нулю?...

Вообще: сосредоточьтесь и чётко сформулируйте определение плотности для этого конкретно определения. А потом не менее аккуратненько сформулируйте формальное определение моментов через плотность вообще. И потом совсем уж аккуратно распишите те интегралы от плотности для данного случая, когда та (плотность) задана именно кусочно. Не забывая, конечно, формального определения той плотности.

И вот если всё это сделать именно аккуратно, избегая чёрных магий и обращая внимание лишь на суть дела -- тогда, уверен, всё у Вас получится. Ежели же вместо этого заниматься гаданиями по формулкам -- тогда не уверен.

-- Пн дек 19, 2011 20:53:41 --

final_sleep в сообщении #517341 писал(а):

ну можете назвать меня тупым, но я вроде как посчитал мат. ожидание для показательного.
$ M(\xi^2)=\frac{2}{\lambda^2}$
$ M(\xi^3)=\frac{6}{\lambda^3}$
$ M(\xi^4)=\frac{24}{\lambda^4}$

Ну молодец. Теперь подставляйте.

[final_sleep]

Итак с самого начала!
Плотность экспоненциального распределения, как уже писалось выше:
$\begin{equation*} f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&\text{если }\, x \geq 0,\\ 0,&\text{иначе.} \end{cases} \end{equation*}$

Тогда я возьму да и посчитаю в лоб вот такие интегралы:
${\displaystyle M(\xi)=\int_{0}^{\infty}{x^2 \lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{1}{\lambda}} }$
${\displaystyle M(\xi^2)=\int_{0}^{\infty}{x^2 \lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{2}{\lambda^2}} }$
${\displaystyle M(\xi^3)=\int_{0}^{\infty}{x^3 \lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{6}{\lambda^3}} }$
${\displaystyle M(\xi^4)=\int_{0}^{\infty}{x^4 \lambda e^{-\lambda x}dx=\frac{24}{\lambda^4}} }$,
я ведь прав хотя бы на этот раз?

[ewert]

На этот раз прав (с точностью до одного рассеянного показателя в одном из интегралов). Теперь всем этим пользуйтесь.