Вопрос по условию арифметической задачи

[Ktina]

Определить, существует ли простое число $p$ и такие целые неотрицательные $x, y, z$, что $(12x+5)(12y+7)=p^z$

Оригинальный текст задачи: Decide whether there exist a prime p and nonnegative integers x; y; z such that $(12x+5)(12y+7)=p^z$ (Polish Mathematical Olympiad, 2003).

(Некоторые соображения)

Согласно арифмосту, левая часть уравнения даёт остаток 11 при делении на 12. Отсюда заключаем, что $p$ также даёт остаток 11 при делении на 12 (поскольку 2 и 3 отбрасываются сразу, а остальные дают 1, 5, 7 или 11, но никакая степень 1, 5 или 7 не даёт 11). Но тогда все сомножители $p$ дают либо 1, либо 11, а сомножителей, дающих 5 или 7 нет. Противоречие. Вывод: такого $p$ не существует.

Вопрос (предполагающий верность вышеизложенных соображений):
А что изменится, если из условия удалить слово "nonnegative"? Ведь при отрицательных $x$ и $y$ остатки на 12 тоже будут 5 и 7, а при отрицательном $z$ имеем нецелое значение $p^z$, кое не может являться произведением двух целых чисел (в силу замкнутости множества целых относительно умножения).